Nichtstandardanalysis

Axiomatische Zugänge

Neben dem modelltheoretischen Zugang existieren noch verschiedene axiomatische Zugänge, die sich untereinander stark unterscheiden.

Anmerkung: Die vorhandene Literatur ist fast ausschließlich in englischer Sprache, zudem werden die Theorien gewöhnlich mit ihren Abkürzungen bezeichnet. Daher haben sich bisher teilweise keine deutschen Fachbegriffe durchgesetzt.

Hrbacek'sche Mengenlehre

In der HST (Hrbacek Set Theory) wird die modelltheoretische Vorstellung fast exakt übernommen. Dazu führt man drei Klassen von Objekten ein, die der wohlfundierten Mengen, die der internen Mengen und die der Standardmengen. Die Klassen WF, I und S folgen dabei unterschiedlichen Axiomen, z.B. gilt das Auswahlaxiom nur innerhalb dieser Mengen, nicht aber für Mengen, die in keiner dieser Klassen enthalten sind (externe Mengen).

Die Abbildung *, die im modelltheoretischen Zugang das ursprüngliche mit dem erweiterten Universum verbindet, ist hier ein Strukturisomorphismus , also eine Abbildung, die Objekte so verbindet, dass logische Aussagen erhalten bleiben. Beispielsweise ist ein vollständiger, archimedisch geordneter Körper, also ist auch ein vollständiger (bezüglich Hyperfolgen ), archimedisch geordneter (bezüglich hypernatürlichen Zahlen ) Körper.

In diesem Hintergrund kann man die Mathematik wie üblich aus der Mengenlehre aufbauen, erhält dabei aber ganz automatisch das erweiterte Universum.

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