Newton-Verfahren

Konvergenzbetrachtungen

Bemerkungen

• Der lokale Konvergenzbeweis kann auch auf gleiche Weise im mehrdimensionalen Fall geführt werden, allerdings ist er dann technisch etwas schwieriger, da mit zwei- und dreistufigen Tensoren für die erste bzw. zweite Ableitung gearbeitet wird. Im Wesentlichen ist die Konstante K durch zu ersetzen, mit geeigneten induzierten Operatornormen.
• Der lokale Konvergenzbeweis setzt voraus, dass ein eine Nullstelle enthaltendes Intervall bekannt ist. Aus seinem Beweis ergibt sich aber keine Möglichkeit, dies schnell zu testen. Ein Konvergenzbeweis, der auch hierfür ein Kriterium liefert, wurde zuerst von Leonid Kantorowitsch geführt und ist als Satz von Kantorowitsch bekannt.
• Um einen geeigneten Startpunkt zu finden, verwendet man gelegentlich andere („gröbere“) Verfahren. Beispielsweise kann man mit dem Gradientenverfahren eine ungefähre Lösung ermitteln und diese dann mit dem Newton-Verfahren verfeinern.
• Bei unbekanntem Startpunkt kann man mittels einer Homotopie die Funktion f, von der man eine Nullstelle sucht, zu einer einfacheren Funktion g deformieren, von der (mindestens) eine Nullstelle bekannt ist. Man durchläuft dann die Deformation rückwärts in Form einer endlichen Folge sich nur „wenig“ unterscheidender Funktionen. Von der ersten Funktion g kennt man eine Nullstelle. Als Startwert der Newton-Iteration zur gerade aktuellen Funktion der Folge verwendet man die Näherung einer Nullstelle der in der Folge vorhergehenden Funktion. Zum genauen Vorgehen siehe Homotopieverfahren.

Als Beispiel mag die „Flutungshomotopie“ dienen: mit einem willkürlichen z bilden wir die Ausgangsfunktion g(x) = f₀ (x) := f(x) - f(z) mit bekannter Nullstelle z . Wir haben den „Wasserspiegel“ vom „Nullpegel“ auf die Höhe f(z) geflutet. Nun senken wir schrittweise den Wasserstand, , h = 1/N, n = 1...N. In jedem Schritt wird eine Näherung einer Nullstelle bestimmt, wobei gesetzt wird. Es ist f_N = f und somit eine der gesuchten Näherungslösungen.

 

 

 

 

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