Newton-Verfahren

Konvergenzbetrachtungen

Beispiele für Nicht-Konvergenz

1. Oszillierendes Verhalten ergibt sich u.a. für das Polynom f(x) := x³ - 2x + 2 mit f´(x) = 3x² - 2. Der Punkt x = 0 mit f(0) = 2 und f´(0) = - 2 wird durch den Newton-Operator auf den Punkt N(0) = 0 - 2/( - 2) = 1 abgebildet, der Punkt x = 1 wiederum, mit f(1) = 1 und f´(1) = 1, wird auf N(1) = 1-1/1 = 0 abgebildet, so dass die Newton-Iteration mit einem dieser Punkte als Startwert eine periodische Folge ergibt, diese beiden Punkte wechseln sich zyklisch ab. Des Weiteren ist dieser Zyklus stabil, er bildet einen Attraktor der Newton-Iteration. Das bedeutet, um beide Punkte gibt es Umgebungen, so dass Startpunkte aus diesen Umgebungen gegen den Zyklus konvergieren und somit je einen der Punkte 0 und 1 als Grenzwert der Teilfolge mit geradem Index und der mit ungeradem Index haben.
2. Divergenz bzw. beliebig weites Entfernen vom Startpunkt ergibt sich für f(x) = sin(x) mit f´(x) = cos(x) und N(x) = x - tan(x). Es gibt eine Stelle mit . Man überzeugt sich, dass dann gilt. Dieses Verhalten ist nicht stabil, denn bei leichter Variation des Anfangswertes, wie sie zum Beispiel durch die numerische Berechnung entsteht, entfernt sich die Newton-Iteration immer weiter von der idealen divergierenden Folge. Selbst bei schließlicher Konvergenz wird die gefundene Nullstelle sehr weit vom Startwert entfernt sein.

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