Newton-Fraktal

Das Newton-Fraktal zu p(z) = z³ -1

Das Newton-Fraktal zu einer nicht-konstanten meromorphen Funktion p, die die komplexen Zahlen in sich abbildet, ist eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen. Genauer ist es die Julia-Menge zur Funktion

die das Newton-Verfahren zum Auffinden von Nullstellen der Funktion p beschreibt. Das Newton-Verfahren selbst konstruiert aus einem Startwert z₀ eine Folge mit der Rekursionsvorschrift z_{k + 1} = f(z_k ).

Abhängig vom Startwert z = z₀ kann der Orbit von z

z, f(z), f² (z), f³ (z), ...

ganz unterschiedliches Verhalten zeigen.

Anmerkung: Hier bezieht sich der Exponent auf f als Funktion, und nicht auf deren Funktionswert. f ⁿ bedeutet also n-malige Anwendung von f.

Dazu wählt man eine zweite komplexe Zahl w in einer Umgebung von z und vergleicht deren Orbits. Dann gibt es genau zwei Möglichkeiten, wie sich die Folge

||z - w||, ||f(z) - f(w)||, ||f² (z) - f² (w)||, ...

verhalten kann:

1. Es gibt eine Umgebung von z, so dass für jedes w aus dieser Umgebung die beiden Orbits sich immer weiter annähern, die Folge der Differenzen also gegen null konvergiert.
2. In jeder noch so kleinen Umgebung von z gibt es ein w, so dass die Orbits sich immer weiter voneinander entfernen und schließlich sich vollkommen unkorreliert verhalten, d.h., die Folge der Differenzen konvergiert nicht gegen null.

Im ersten Falle liegt z in der Fatou-Menge .Im zweiten Falle liegt z in der Julia-Menge . Da Julia-Mengen bis auf einige ausgezeichnete Ausnahmen Fraktale sind und sich f aus dem Newton-Verfahren für p ableitet, nennt man auch Newton-Fraktal von p.

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