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Newton-Cotes-Formeln| Herleitung | |
Maclaurin-Quadraturformeln | |
Newton-Cotes-Formeln
Herleitung
Für das zu integrierende Interpolationspolynom pn (x) vom Grad n werden die Stützstellen
äquidistant mit dem konstanten Abstand h = xi + 1
- xi
so gewählt, dass sie symmetrisch zur Intervallmitte 
des Integrationsintervalls [a, b] liegen. Somit gilt
.
Mit x0
= a (und somit xn
= b) erhält man n Intervalle der Länge h und somit und
. Diese Formeln werden abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln genannt.
Mit (und somit
) erhält man offene Quadratur-Formeln:
- Wählt man x0
= a + h (und somit xn
= b - h), erhält man n + 2 Intervalle der Länge h und somit
und
. Diese Formeln werden offene Newton-Cotes-Formeln genannt.
- Wählt man
(und somit
), erhält man n + 1 Intervalle der Länge h und somit
und
. Diese Formeln werden Maclaurin-Formeln genannt.
Zur numerischen Integration von nehmen wir das Interpolationspolynom pn
(x) der Funktion f(x) zu den gegebenen Stützstellen. Für dieses gilt
wobei Lin die Lagrange-Polynome sind. Daraus folgt
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