Newton-Cotes-Formeln

Definition

Für die Newton-Cotes-Formel folgt dann

mit den Gewichten

Die Gewichte sind symmetrisch, das heißt w_{n - i} = w_i .

Wegen der speziellen Wahl der Stützstellen integrieren die Quadraturformeln bei ungeradem n Polynome bis zum Grad n, bei geradem n sogar bis zum Grad n+1 exakt. Somit sind Quadraturformeln mit geradem n (also einer ungeraden Anzahl an Stützstellen) denen mit ungeradem n vorzuziehen. Diese Eigenschaft nennt man auch den Genauigkeitsgrad der Quadraturformel.

Speziell gilt für f(x) = 1, dass und somit

Falls , was bei negativen Gewichten der Fall ist, besteht die Gefahr, dass sich die Rundungsfehler aufschaukeln oder Auslöschung eintritt. Daher sind aus numerischen Gründen Quadraturformeln mit positiven Gewichten zu bevorzugen. Da für großes n das Interpolationspolynom p_n (x) unbrauchbar ist, sind ebenso Quadraturformeln mit großem n nicht empfehlenswert. Will man bessere Näherungen erreichen, so empfiehlt sich die Verwendung von zusammengesetzten Quadraturformeln.

ist der Fehler (Verfahrensfehler), der bei der Anwendung der Quadraturformel gemacht wird. Dieser hat bei der speziellen Wahl der Stützstellen immer die Form

.

wobei K eine von f(x) unabhängige Konstante, p der Genauigkeitsgrad und ein nur in Ausnahmefällen bekannter Zwischenwert ist. Wäre er generell bekannt, könnte man E(f) und somit auch das Integral exakt ausrechnen, im Widerspruch zu der Tatsache, dass man die meisten Integrale nicht exakt berechnen kann.

Mit Hilfe des Verfahrensfehlers erhält man die Fehlerabschätzung:

.

Der exakte Fehler ist immer kleiner/gleich als diese Fehlerabschätzung, wie auch die unten angegebenen Beispiele zeigen.

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