Wurzelzieher

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Neumann-Reihe
Eigenschaften

&\left(I+T+T^2+\dots+T^{n-1}\right)\cdot \left(I-T^n\right)^{-1}\\/ &\left(I+T+T^2+\dots+T^{n-1}\right)\cdot\sum\limits_{k/ Invertierbarkeit linearer Operatoren

Offenheit der Menge der invertierbaren Operatoren/ Literatur

 

 

Neumann-Reihe

Eigenschaften

Sei ein normierter Raum und ein stetiger Operator, . Dabei ist L(X, Y) der Raum der linearen, beschränkten - und somit stetigen - Operatoren von X nach Y; für L(X, X) schreibt man abkürzend L(X).


  • Falls die Neumann-Reihe im Raum L(X) bezüglich der Operatornorm konvergiert, dann ist invertierbar und es gilt
.
  • Die Neumann-Reihe konvergiert, falls ein Banachraum ist und für die Operatornorm ||T|| < 1 gilt. Dann gilt auch:
.
  • Es sind auch schwächere Voraussetzungen bekannt, unter denen die Reihe konvergieren kann, z. B. ist es ausreichend, wenn nur für eine Potenz des Operators T die Bedingung ||Tn || < 1 gilt. Dann ist
beginalign(I - T)-1

 

 

 

 

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