Modelltheorie

Zur Bedeutung von Modellen

• Modelle veranschaulichen das Wesen eines Axiomensystems.

• Die Untersuchung von Modellen ist einfacher als die von Deutungen, weil die Modelle nicht mit Intensionen zu tun haben, sondern nur mit Extensionen.

• Modelle haben formal folgende Bedeutung:

Eine Axiomenmenge lässt sich oft einfacher als Theorie eines Modells angeben als in einer aufzählenden Form.

Die Existenz eines Modells beweist, dass sich die Axiome nicht widersprechen, sie sind also konsistent.Eine Logik hat die Eigenschaft der Vollständigkeit, falls umgekehrt jede konsistente Aussagenmenge ein Modell hat (dies gilt für die Prädikatenlogik erster Stufe, siehe weiter unten).

Existieren sowohl Modelle mit einer gewissen Eigenschaft als auch solche, die diese Eigenschaft nicht haben, so ist damit die logische Unabhängigkeit der Eigenschaft von den Axiomen bewiesen, d. h., diese Eigenschaft folgt nicht aus den Axiomen und lässt sich auch nicht auf Grundlage der Axiome widerlegen.

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