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Mehrdimensionale Mittelwertsätze

Satz 16KJ (Mehrdimensionaler Mittelwertsatz)

Sei mit offen, auf D differenzierbar; mit für . Dann gibt es ein , so dass

Beweis

Man wendet den eindimensionalen Mittelwertsatz an.

mit ist stetig differenzierbar.

Kettenregel: . Nach dem eindimensionalen Mittelwertsatz gilt: ; also

Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen

Für vektorwertige Funktionen gilt der Mittelwertsatz (Satz 16KJ) nicht mehr.

Beispiel

;

Wir zeigen, dass kein existiert, für dass gilt.

Denn , aber , daher gilt stets ||f'(t)||₂ = 1.

Um den Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen dennoch formulieren zu können, benutzen wir eine "Integralversion". Zuerst verallgemeinern wir das Riemannintegral für vektorwertige Funktionen.

Definition

Sei eine vektorwertige Funktion mit den Komponenten , wobei die riemannintegrierbar sind. Dann heißt

das -Integral von f über [a, b].

Wie beim Riemannintegral gilt:

• f ist integrierbar, wenn alle f_i stetig sind.
• und .

Analog definiert man für das -Integral als:

für A(t) = (a_ij (t))

Es gilt für konstantes .

Satz 16KK

Für jede stetige Funktion gilt:

(1)

Beweis

Sei . Dann gilt ||u||²₂

(Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

(||u||2 ist als bestimmtes Integral konstant)

Die Ungleichung (1) gilt auch für beliebige andere Normen auf

Satz 16KL (Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen)

Sei mit offen, stetig differenzierbar und mit für . Dann gilt

Ferner gilt:

Dabei ist die Operatorennorm ||f'(x + th)|| ein Abbildung zwischen den normierten Räumen und .

Beweis

, stetig differenzierbar. Wir definieren ; i = 1, ..., m und . ist stetig differenzierbar. Man wendet den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an: mit . Also erhält man: und

.

Weiterhin

(nach Satz 16KK)

.

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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