Methode der kleinsten Quadrate

Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Modelle

Hauptartikel: Regressionsanalyse.

Weicht man die starken Anforderungen im Verfahren an die Beobachtungsfehler auf, erhält man so genannte verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Ansätze. Wichtige Spezialfälle haben dann wieder eigene Namen, etwa die gewichteten kleinsten Quadrate, bei denen die Fehler zwar weiter als unkorreliert angenommen werden, aber nicht mehr von gleicher Varianz. Dies führt auf ein Problem der Form

wobei D eine Diagonalmatrix ist. Variieren die Varianzen stark, so haben die entsprechenden Normalgleichungen eine sehr große Kondition, weswegen das Problem direkt gelöst werden sollte.

Nimmt man noch weiter an, dass die Fehler in den Messdaten auch in der Modellfunktion berücksichtigt werden sollten, ergeben sich die „totalen kleinsten Quadrate“ in der Form

wobei E der Fehler im Modell und r der Fehler in den Daten ist.

Schließlich gibt es noch die Möglichkeit, keine Normalverteilung zugrunde zu legen. Dies entspricht beispielsweise der Minimierung nicht in der euklidischen Norm, sondern der 1-Norm. Solche Modelle sind Thema der Regressionsanalyse.

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