Methode der kleinsten Quadrate

Lineare Modellfunktion

Einfache polynomiale Ausgleichskurven

Streudiagramm: Durchschnittliches Gewicht von Männern nach Alter mit parabelförmiger Modellfunktion

Datensatz mit approximierenden Polynomen

Allgemeiner als eine lineare Ausgleichsgerade sind Ausgleichspolynome

die nun anhand eines Beispiels illustriert werden.

Als Ergebnisse der Mikrozensus-Befragung durch das statistische Bundesamt sind die durchschnittlichen Gewichte von Männern nach Altersklassen gegeben (Quelle: Statistisches Bundesamt, Wiesbaden 2009). Für die Analyse wurden die Altersklassen durch die Klassenmitten ersetzt. Es soll die Abhängigkeit der Variablen Gewicht (y) von der Variablen Alter (x) analysiert werden.

Das Streudiagramm lässt auf eine annähernd parabolische Beziehung zwischen x und y schließen, welche sich häufig gut durch ein Polynom annähern lässt. Es wird ein polynomialer Ansatz der Form

versucht. Als Lösung ergibt sich das Polynom 4. Grades

.

Die Messpunkte weichen im Mittel (Standardabweichung) 0,19 kg von der Modellfunktion ab. Reduziert man den Grad des Polynoms auf 3, erhält man die Lösung

mit einer mittleren Abweichung von 0,22 kg und beim Polynomgrad 2 die Lösung

mit einer mittleren Abweichung von 0,42 kg. Wie zu erkennen ist, ändern sich beim Wegfallen der höheren Terme die Koeffizienten der niedrigeren Terme. Die Methode versucht, das Beste aus jeder Situation herauszuholen. Entsprechend werden die fehlenden höheren Terme mit Hilfe der niedrigeren Terme so gut wie möglich ausgeglichen, bis das mathematische Optimum erreicht ist. Mit dem Polynom zweiten Grades (Parabel) wird der Verlauf der Messpunkte noch sehr gut beschrieben (siehe Abbildung).

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