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Methode der kleinsten QuadrateSpezialfall einer linearen Ausgleichsfunktion mit mehreren Variablen | |
| Der allgemeine lineare Fall | |
Beispiel aus der Enzymkinetik einer nicht linearisierbaren Modellfunktion | |
Methode der kleinsten Quadrate
Lineare Modellfunktion
Der allgemeine lineare Fall
Zweidimensionale Polynomfläche zweiter Ordnung mit 3 × 3 = 9 Basisfunktionen:
f(x1, x2) = 
0 +
1x11 +
2x12 +
3x21 +
4x11x21 +
5x12x21 +
6x22 +
7x11x22 +
8x12x22
Im Folgenden soll der allgemeine Fall von beliebigen linearen Modellfunktionen mit beliebiger Dimension gezeigt werden. Zu einer gegebenen N-dimensionalen Messwertfunktion
- y(x1 , x2 , ..., xN )
mit N unabhängigen Variablen sei eine optimal angepasste lineare Modellfunktion
gesucht, deren quadratische Abweichung dazu minimal sein soll. xi
sind dabei die Funktionskoordinaten, die zu bestimmenden linear eingehenden Parameter und
beliebige zur Anpassung an das Problem gewählte linear unabhängige Funktionen.
Bei n gegebenen Messpunkten (x1, 1 , x2, 1 , ..., xN, 1 ;y1 ), (x1, 2 , x2, 2 , ..., xN, 2 ;y2 ),… , (x1, n , x2, n , ..., xN, n ;yn ) erhält man die Anpassungsfehler
oder in Matrixschreibweise
wobei der Vektor r die ri
zusammenfasst, die Matrix A die Basisfunktionswerte , der Parametervektor
die Parameter
und der Vektor y die Beobachtungen yi
.
Das Minimierungsproblem kann dann in der Form
.
geschrieben werden.
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