Methode der kleinsten Quadrate

Geschichtliches

Carl Friedrich Gauß

Am Neujahrstag 1801 entdeckte der italienische Astronom Giuseppe Piazzi den Zwergplaneten Ceres. 40 Tage lang konnte er die Bahn verfolgen, dann verschwand Ceres hinter der Sonne. Im Laufe des Jahres versuchten viele Wissenschaftler erfolglos, anhand von Piazzis Beobachtungen die Bahn zu berechnen – unter der Annahme einer Kreisbahn, denn nur für solche konnten damals die Bahnelemente aus beobachteten Himmelspositionen mathematisch ermittelt werden. Der 24-jährige Gauß hingegen konnte auch elliptische Bahnen aus drei Einzelbeobachtungen berechnen. Da aber deutlich mehr Bahnpunkte vorlagen, wandte er seine Methode der kleinsten Quadrate an, um so die Genauigkeit zu erhöhen. Als Franz Xaver von Zach und Heinrich Wilhelm Olbers im Dezember 1801 den Kleinplaneten genau an dem von Gauß vorhergesagten Ort wiederfanden, war das nicht nur ein großer Erfolg für Gauß’ Methode: Piazzis Ruf, der aufgrund seiner nicht zu einer Kreisbahn passen wollenden Bahnpunkte stark gelitten hatte, war ebenfalls wiederhergestellt.

Piazzis Beobachtungen veröffentlicht in der Monatlichen Correspondenz vom September 1801

Die Grundlagen seines Verfahrens hatte Gauß schon 1795 im Alter von 18 Jahren entwickelt. Basis war eine Idee von Pierre-Simon Laplace, die Beträge von Fehlern aufzusummieren, so dass sich die Fehler zu Null addieren. Gauß nahm statt dessen die Fehlerquadrate und konnte die künstliche Zusatzanforderung an die Fehler weglassen. Unabhängig davon entwickelte der Franzose Adrien-Marie Legendre dieselbe Methode erstmalig im Jahre 1805 am Schluss eines kleinen Werkes über die Berechnung der Kometenbahnen und veröffentlichte eine zweite Abhandlung darüber im Jahr 1810. Von ihm stammt der Name Méthode des moindres carrés (Methode der kleinsten Quadrate).

1809 publizierte Gauß dann im zweiten Band seines himmelsmechanischen Werkes Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Theorie der Bewegung der Himmelskörper, welche in Kegelschnitten die Sonne umlaufen) sein Verfahren, inklusive der Normalgleichungen und des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Dabei erwähnte er, dass er es schon vor Legendre entdeckt und benutzt habe, was zu einem Prioritätsstreit zwischen den beiden führte. Die Methode der kleinsten Quadrate wurde nun schnell das Standardverfahren zur Behandlung von astronomischen oder geodätischen Datensätzen.

Gauß benutzte dann das Verfahren intensiv bei seiner Vermessung des Königreichs Hannover durch Triangulation. 1821 und 1823 erschien die zweiteilige Arbeit sowie 1826 eine Ergänzung zur Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (Theorie der den kleinsten Fehlern unterworfenen Kombination der Beobachtungen), in denen Gauß eine Begründung liefern konnte, wieso sein Verfahren im Vergleich zu den anderen so erfolgreich war: Die Methode der kleinsten Quadrate ist in einer breiten Hinsicht optimal, also besser als andere Methoden. Die genaue Aussage ist als der Satz von Gauß-Markow bekannt, da die Arbeit von Gauß wenig Beachtung fand und schließlich im 20. Jahrhundert von Andrei Andrejewitsch Markow wiederentdeckt und bekannt gemacht wurde. Theoria Combinationis enthält ferner wesentliche Fortschritte beim effizienten Lösen der auftretenden linearen Gleichungssysteme, wie das Gauß-Seidel-Verfahren und die LR-Zerlegung.

Der französische Vermessungsoffizier André-Louis Cholesky entwickelte während des Ersten Weltkrieges die Cholesky-Zerlegung, die gegenüber den Lösungsverfahren von Gauß nochmal einen erheblichen Effizienzgewinn darstellte. In den 1960er Jahren entwickelte Gene Golub die Idee, die auftretenden linearen Gleichungssysteme mittels QR-Zerlegung zu lösen.

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