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Methode der kleinsten Quadrate| Das Verfahren | |
Spezialfall einer linearen Ausgleichsfunktion mit mehreren Variablen | |
Beispiel aus der Enzymkinetik einer nicht linearisierbaren Modellfunktion | |
Methode der kleinsten Quadrate
Das Verfahren
Voraussetzungen
Man betrachtet eine abhängige Größe y, die von einer Variablen x oder auch von mehreren Variablen beeinflusst wird. So hängt die Dehnung einer Feder nur von der aufgebrachten Kraft ab, der Gewinn eines Unternehmens jedoch von mehreren Faktoren wie Umsatz, den verschiedenen Kosten oder dem Eigenkapital. Zur Vereinfachung der Notation wird im Folgenden die Darstellung auf eine Variable x beschränkt. Der Zusammenhang zwischen y und den Variablen wird über eine Modellfunktion f, beispielsweise einer Parabel oder einer Exponentialfunktion
-
,
die von x sowie von m Funktionsparametern abhängt, modelliert. Diese Funktion entstammt entweder der Kenntnis des Anwenders; im Falle der Feder ist dies etwa das Hooksche Gesetz und damit eine lineare Funktion mit der Federkonstanten als einzigem Parameter. In schwierigeren Fällen, wie dem des Unternehmens kann der Wahl des Funktionstyps ein beliebig komplexer Modellierungsprozess vorausgehen, eventuell müssen auch verschiedene Modellfunktionen angesetzt werden und die Ergebnisse verglichen werden.
Die Parameter dienen zur Anpassung des gewählten Funktionstyps an die beobachteten Werte yi
. Ziel ist es nun, die Parameter
so zu wählen, dass die Modellfunktion die Daten bestmöglich approximiert.
Um Informationen über die Parameter und damit die konkrete Art des Zusammenhangs zu erhalten, werden zu jeweils n gegebenen Werten xi der unabhängigen Variablen x entsprechende Beobachtungswerte yi (i = 1, ..., n) erhoben.
Gauß und Legendre hatten die Idee, Verteilungsannahmen über die Messfehler dieser Beobachtungswerte zu machen. Sie sollten im Durchschnitt Null sein, eine gleichbleibende Varianz haben und von jedem anderen Messfehler stochastisch unabhängig sein. Man verlangt damit, dass in den Messfehlern keinerlei systematische Information mehr steckt, sie also rein zufällig um Null schwanken. Außerdem sollten die Messfehler normalverteilt sein, was zum einen wahrscheinlichkeitstheoretische Vorteile hat und zum anderen garantiert, dass Ausreißer in y so gut wie ausgeschlossen sind.
Um dies zu erfüllen, ist es notwendig, dass deutlich mehr Datenpunkte als Parameter vorliegen, es ist also n > m.
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