Methode der kleinsten Quadrate

Die Methode der kleinsten Quadrate (engl.: method of least squares) ist das mathematische Standardverfahren zur Ausgleichungsrechnung. Dabei wird zu einer Datenpunktwolke eine Kurve gesucht, die möglichst nahe an den Datenpunkten verläuft. Die Daten können physikalische Messwerte, wirtschaftliche Größen oder Ähnliches repräsentieren, während die Kurve aus einer parameterabhängigen problemangepassten Familie von Funktionen stammt. Die Methode der kleinsten Quadrate besteht dann darin, die Kurvenparameter so zu bestimmen, dass die Summe der quadratischen Abweichungen der Kurve von den beobachteten Punkten minimiert wird. Die Abweichungen werden Residuen genannt.

In der Beispielgrafik sind Datenpunkte eingetragen. In einem ersten Schritt wird eine Funktionenklasse ausgewählt, die zu dem Problem und den Daten passen sollte, hier eine logistische Funktion. Deren Parameter werden nun so bestimmt, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen e der Beobachtungen y zu den Werten der Funktion minimiert wird. In der Grafik ist die Abweichung e an der Stelle x als senkrechter Abstand der Beobachtung y von der Kurve zu erkennen.

In der Stochastik wird die Methode der kleinsten Quadrate meistens als Schätzmethode in der Regressionsanalyse benutzt, wo sie auch als Kleinste-Quadrate-Schätzung bezeichnet wird. Angewandt als Systemidentifikation ist die Methode der kleinsten Quadrate in Verbindung mit Modellversuchen für Ingenieure ein Ausweg aus der paradoxen Situation, Modellparameter für unbekannte Gesetzmäßigkeiten zu bestimmen.

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