Maßtheorie

Definitionen und Beispiele

Prämaß

Ein σ-additiver (oder abzählbar additiver) Inhalt heißt Prämaß. Sei ein Inhalt, dann ist ein Prämaß, wenn für jede Folge abzählbar vieler paarweise disjunkter Mengen aus mit gilt:

Eigenschaften

im Halbring

Falls ein Halbring ist, dann gilt:

• Fortsetzbarkeit: Man kann auch zu jedem Prämaß auf ein Prämaß auf dem von erzeugten Ring konstruieren, indem man definiert durch:

für mit

Auch hier ist die Fortsetzung , wie bei der Fortsetzung von einem Inhalt, eindeutig.

im Ring

Falls ein Ring ist, dann gilt:

• σ-subadditiv (Sigma-subadditiv), es gilt folglich:

für jede Folge von Mengen in mit

• Stetigkeit von oben: Ist eine absteigende Folge von Mengen aus (d.h. für alle ) mit und ist , so ist .
• Stetigkeit von unten: Ist eine aufsteigende Folge von Mengen aus (d.h. für alle ) und ist , so ist .

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