Maßtheorie

Definitionen und Beispiele

Messraum, messbare Mengen

Sei eine σ-Algebra aus Teilmengen von . Dann nennt man das Paar Messraum oder messbarer Raum. Eine Funktion, die die Struktur eines Messraums erhält, heißt messbare Funktion. Analog zu stetigen Funktionen zwischen topologischen Räumen fordert man die Messbarkeit von Urbildern messbarer Mengen.

Jedes Element A von heißt messbar, da die charakteristische Funktion messbar ist. Dabei ist zu beachten, dass man in der Maßtheorie zum einen von der Messbarkeit bezüglich eines Messraumes und zum anderen von der Messbarkeit nach Carathéodory bezüglich eines äußeren Maßes spricht. Letztere kann man aber äquivalent als Messbarkeit bezüglich des durch das äußere Maß induzierten Messraumes betrachten.

Beispiele für Messräume:

• Jede Menge bildet mit ihrer Potenzmenge einen Messraum.
• Sei A eine Teilmenge von . Dann ist die von A erzeugte σ-Algebra. Diese σ-Algebra ist zugleich die kleinstmögliche σ-Algebra, die A enthält.

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