Maßtheorie

Definitionen und Beispiele

Maß

Sei eine Funktion, die jeder Menge A aus der σ-Algebra über einen Wert in der Menge der erweiterten reellen Zahlen zuordnet (siehe unten wegen möglicher Verallgemeinerungen). Man nennt ein Maß, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Die leere Menge hat das Maß null: .
• Positivität: für alle .
• Das Maß ist abzählbar additiv (auch σ-additiv): Sind A₁ , A₂ , A₃ , ... abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen aus und ist A ihre Vereinigungsmenge, dann gilt für deren Maß μ(A):

.

Damit ist das Maß auch endlich additiv, indem man die Folge paarweise disjunkter Mengen aus wählt.

Somit ist jedes Maß ein Prämaß über einer σ-Algebra, insbesondere gelten alle Eigenschaften für Inhalte und Prämaße. Man beachte, dass in Teilen der Literatur ein Maß wie das Prämaß definiert wird und das zugrunde liegende Mengensystem mit über beliebig ist.

Eigenschaften

endlich: Ein Maß heißt endlich, wenn gilt . Aufgrund der Monotonie ist dies gleichbedeutend damit, dass für alle gilt .

σ-endlich: Ein Maß heißt σ-endlich (oder σ-finit), wenn es eine abzählbare Folge messbarer Mengen gibt, die alle ein endliches Maß besitzen und überdecken. σ-endliche Maße haben einige Eigenschaften, die gewisse Analogien zu den Eigenschaften separabler topologischer Räume aufweisen.

vollständig: Ein Maß auf der σ-Algebra heißt vollständig, wenn jede Teilmenge jeder Nullmenge Element von ist.

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