Maßtheorie

Definitionen und Beispiele

Inhalt

Eine Funktion , die jeder Menge A aus dem Mengensystem mit über einen Wert zuordnet, der in ist, heißt Inhalt, falls für diese Abbildung gilt:

• Die leere Menge hat den Wert null: .
• Die Funktion ist endlich additiv. Sind also A₁ , A₂ , ..., A_n endlich viele paarweise disjunkte Mengen aus und dann gilt

.

Eigenschaften

im Halbring

Falls ein Halbring ist, dann gilt:

• Jeder Inhalt ist monoton, es gilt folglich:

für

• Jeder Inhalt ist subadditiv, es gilt also:

für A, B aus mit

• Fortsetzbarkeit: Man kann zu jedem Inhalt auf einen Inhalt auf dem von erzeugten Ring konstruieren, indem man definiert durch:

Aufgrund der Eigenschaften eines Halbringes gibt es für alle Mengen mit . Die Fortsetzung ist eindeutig.

im Ring

Falls ein Ring ist, dann gilt:

• Subtraktivität: für mit gilt
• 
• Subadditivität:
• -Superadditivität: Seien paarweise disjunkt mit . Dann folgt aus der Additivität und Monotonie
• Falls endlich ist, also für alle gilt, dann gilt die Siebformel von Poincaré und Sylvester:

mit für .

Nullmenge

Eine Menge A aus heißt Nullmenge, wenn gilt.

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