Maßtheorie

Definitionen und Beispiele

Die zu messenden Mengen fasst man in Mengensysteme zusammen, die unterschiedlich stark gegenüber Mengenoperationen abgeschlossen sind. Bedeutende maßtheoretische Beispiele von Mengensystemen sind:

Potenzmenge, σ-Algebra, Halbring, Ring,Algebra, Dynkin-System oder durchschnittstabiles Mengensystem.

Dabei ist die Potenzmenge das umfassendste aller Mengensysteme und enthält jede beliebige Teilmenge der Grundmenge. Die σ-Algebra, die das wichtigste Mengensystem der Maßtheorie ist, enthält im Allgemeinen weniger Mengen als die Potenzmenge.

Für die Maßtheorie wichtige Inklusionen:

• Jede Potenzmenge ist eine σ-Algebra und ein Dynkin-System
• Jede σ-Algebra ist eine Algebra
• Jede Algebra ist ein Ring
• Jeder Ring ist ein Halbring.
• Jedes Dynkin-System und jeder Halbring ist ein durchschnittsstabiles Mengensystem.

Auf diesen Mengensystemen definiert man Mengenfunktionen wie beispielsweise Inhalt, Prämaß, Maß oder Äußeres Maß, die jeder Menge des Mengensystem einen Wert in (der erweiterten, positiven, reellen Achse) zuordnen. Insbesondere übertragen sich alle Eigenschaften von Mengenfunktionen auf Inhalte, Prämaße, Maße und Äußere Maße.

Es ist zu beachten, dass die genannten Begriffe (Inhalt, Prämaß, Maß) in der Literatur uneinheitlich definiert werden, insbesondere in Bezug auf das zugrundeliegende Mengensystem. So wird zum Beispiel der Begriff Inhalt teilweise auf einem Ring, Halbring oder für beliebige Mengensysteme, die die leere Menge enthalten, definiert. Im folgenden sei deshalb die allgemeine Variante angegeben mit Verweis auf die Folgerungen für die Wahl spezieller Mengensysteme.

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