Mannigfaltigkeit

Geschichtlicher Überblick

Das Konzept von Mannigfaltigkeiten entstand im neunzehnten Jahrhundert insbesondere durch Forschung in der Geometrie und der Funktionentheorie. Während Differentialgeometer lokale Konzepte wie zum Beispiel die Krümmung von Kurven und Flächen untersuchten, betrachteten Funktionentheoretiker globale Probleme. Sie fanden heraus, dass Eigenschaften von Funktionen F mit topologischen Invarianten der Menge F^-1 (c) für bestimmte c zusammenhängen. Diese Mengen F^-1 (c) sind Mannigfaltigkeiten (vgl. Satz vom regulären Wert).

Bernhard Riemann machte im Bereich der Geometrie der Mannigfaltigkeiten enorme Fortschritte. In seinem Promotionsvortrag, welchen er unter anderem vor Carl Friedrich Gauß halten musste, führte er die riemannschen Mannigfaltigkeiten ein, welche jedoch noch in den eingebettet waren. Auf diesen Mannigfaltigkeiten kann man Winkel und Abstände messen. In späteren Arbeiten entwickelte er die riemannschen Flächen, welche wahrscheinlich die ersten abstrakten Mannigfaltigkeiten waren. Mannigfaltigkeiten werden zur Abgrenzung manchmal abstrakt genannt, um zu sagen, dass sie keine Teilmenge des euklidischen Raums sind.

Henri Poincaré begann in seinen Arbeiten mit der Untersuchung von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, während bis dahin überwiegend zweidimensionale Mannigfaltigkeiten (Flächen) behandelt worden waren. Im Jahr 1904 stellt er die nach ihm benannte Poincaré-Vermutung auf. Sie besagt, dass jede einfach-zusammenhängende, kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist. Für diese Vermutung veröffentlichte Grigori Jakowlewitsch Perelman im Jahr 2002 einen nicht durch „Referees“ überprüften Beweis, der zwar nicht in einer referierten Fachzeitschrift, sondern nur im Internet veröffentlicht wurde, jedoch von der Fachöffentlichkeit als richtig angesehen wird.

Auch Hermann Weyl untersuchte in seinem Werk Riemannian surfaces abstrakte, differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Jedoch wurden erst durch die Veröffentlichungen von Hassler Whitney aus dem Jahr 1936 Mannigfaltigkeiten zu einem etablierten, mathematischen Objekt. Sein wohl bekanntestes Resultat ist der Einbettungssatz von Whitney.

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