Mannigfaltigkeit

Einführendes Beispiel

Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine Sphäre (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche:

Jede Region der Erde kann man mit einer Karte auf eine Ebene () abbilden.Nähert man sich dem Rand der Karte, sollte man zu einer anderen Karte wechseln, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann man eine Mannigfaltigkeit durch einen vollständigen Satz von Karten vollständig beschreiben; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Dagegen gibt es keine einzelne Karte, auf der die gesamte Kugeloberfläche vollständig dargestellt werden kann, ohne sie zu „zerreißen“; Weltkarten haben ja auch stets „Ränder“, oder sie bilden Teile der Erde zweimal ab.

Ein anderes Beispiel ist der Torus („Rettungsring“).

Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.

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