Mannigfaltigkeit

Beispiele

Diskreter Raum

Jeder abzählbare diskrete topologische Raum S ist eine nulldimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Die Karten dieser Mannigfaltigkeiten sind die Paare mit und .

Sphäre

Die Sphäre ist eine unberandete orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension n. Ein Atlas dieser Mannigfaltigkeit ist gegeben durch die beiden stereographischen Projektionen

wobei N den Nordpol x_{n + 1} = + 1 und S den Südpol x_{n + 1} = -1 der Sphäre bezeichnen. Die daraus resultierende Initialtopologie ist die gleiche, die durch auf als Teilraumtopologie induziert würde. Die Sphäre wird außer in der Mathematik auch in anderen Wissenschaften untersucht, so zum Beispiel in der Kartographie oder auch in der Theoretischen Physik bei der sogenannten Bloch-Kugel.

Rechteck

Eine orientierbare Mannigfaltigkeit mit Rand: ein Rechteck mit Länge a und Breite b (sowie der Diagonale d)

Ein einfaches Beispiel einer berandeten und orientierbaren Mannigfaltigkeit betrifft ein (abgeschlossenes) Rechteck wie in nebenstehender Skizze.Der Rand besteht aus den Rechteckseiten; die zwei Orientierungen sind „entgegen dem Uhrzeigersinn“ (+) bzw. „im Uhrzeigersinn“ (-). Im ersten Fall wird etwa der folgende Umlauf betrachtet: Von A nach B und weiter nach C und D, von dort zurück nach A; alles entgegen dem Uhrzeigersinn.

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