Mannigfaltigkeit

Arten von Mannigfaltigkeiten

Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Andere Verallgemeinerungen riemannscher Mannigfaltigkeiten sind Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten (auch Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten genannt), die zum Beispiel in der Allgemeinen Relativitätstheorie auftreten.

Hier braucht die durch die Metrik in jedem Tangentialraum definierte symmetrische Bilinearform nicht positiv definit zu sein, sondern nur nicht-ausgeartet. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester lässt sich eine solche Bilinearform als Diagonalmatrix mit Einträgen von darstellen. Sind dann r Einträge +1 und s Einträge -1, spricht man von einer Metrik mit Signatur (r, s). Ist die Signatur der Metrik (m-1, 1) (oder nach einer anderen Konvention (1, m-1)), wobei m die Dimension der Mannigfaltigkeit ist, so spricht man von einer Lorentz-Mannigfaltigkeit. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit durch eine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit, also mit der Signatur (3,1) (bzw. (1,3)), beschrieben.

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