Mannigfaltigkeit

Arten von Mannigfaltigkeiten

Lie-Gruppen

Eine Lie-Gruppe ist sowohl eine differenzierbare Mannigfaltigkeit als auch eine Gruppe, wobei die Gruppenmultiplikation (beziehungsweise Addition) und das Invertieren eines Gruppenelements differenzierbare Abbildungen sein müssen. Der Tangentialraum einer Lie-Gruppe am neutralen Element ist bezüglich des Kommutators [ , ] abgeschlossen und bildet eine zur Lie-Gruppe assoziierte Lie-Algebra.

Ein einfaches Beispiel für eine nicht kompakte Lie-Gruppe ist der euklidische Vektorraum zusammen mit der normalen Vektorraumaddition. Die unitäre Gruppe U(1) ist ein Beispiel einer kompakten Lie-Gruppe. (Man kann sich diese Mannigfaltigkeit als einen Kreis vorstellen und die Gruppenoperation ist eine Drehung dieses Kreises.) In der Physik (siehe Quantenchromodynamik) kommen vor allem die Gruppen SU(n) vor, die „speziellen unitären Gruppen der Ordnung n “ vor (z. B. n=3, Determinante +1).

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