Mannigfaltigkeit

Arten von Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Um differenzierbare Funktionen zu betrachten, reicht die Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit nicht aus.Es sei M eine solche topologische n-Mannigfaltigkeit ohne Rand.Ist eine offene Teilmenge von M vorgeben, auf der ein Homöomorphismus zu einer offenen Menge von definiert ist, dann nennt man diesen Homöomorphismus eine Karte.Eine Menge von Karten, deren Urbilder M überdecken, heißt Atlas von M.Verschiedene Karten induzieren einen Homöomorphismus (einen so genannten Kartenwechsel oder Koordinatenwechsel) zwischen offenen Teilmengen von .Falls für einen Atlas alle solchen Kartenwechsel k-mal differenzierbar sind, dann nennt man einen C^k -Atlas.Zwei C^k -Atlanten (derselben Mannigfaltigkeit) nennt man genau dann miteinander verträglich, wenn ihre Vereinigung wieder einen C^k -Atlas bildet.Diese Verträglichkeit ist eine Äquivalenzrelation.Eine C^k -Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einem C^k -Atlas (eigentlich mit einer Äquivalenzklasse von C^k -Atlanten).Glatte Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten vom Typ .Sind alle Kartenwechsel sogar analytisch, dann nennt man die Mannigfaltigkeit ebenfalls analytisch oder auch -Mannigfaltigkeit.

Auf einer C^k -Mannigfaltigkeit M nennt man eine Funktion genau dann s-mal differenzierbar (), wenn sie auf jeder Karte s-mal differenzierbar ist.

Zu jeder (parakompakten) C^r -Mannigfaltigkeit (r > 1) existiert ein Atlas, der beliebig oft differenzierbar oder sogar analytisch ist.In der Tat ist diese Struktur sogar eindeutig, das heißt, es ist keine Einschränkung der Allgemeinheit, anzunehmen, dass jede Mannigfaltigkeit analytisch ist (wenn man von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten redet).

Diese Aussage ist aber für topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension 4 oder höher nicht mehr unbedingt richtig:So gibt es sowohl C⁰ -Mannigfaltigkeiten, die keine differenzierbare Struktur besitzen, als auch C¹ -Mannigfaltigkeiten (oder auch -M., s.o.), die als differenzierbare Mannigfaltigkeiten unterschiedlich, aber als topologische Mannigfaltigkeiten gleich sind.Das bekannteste Beispiel für den zweiten Fall sind die so genannten exotischen 7-Sphären, die alle homöomorph zu (aber untereinander nicht diffeomorph) sind.Da die topologische und die differenzierbare Kategorie in niedriger Dimension übereinstimmen, sind solche Resultate nur schwer zu veranschaulichen.

Tangentialbündel

An jedem Punkt p einer n-dimensionalen, differenzierbaren (aber nicht einer topologischen) Mannigfaltigkeit findet man einen Tangentialraum.In einer Karte heftet man an diesen Punkt einfach einen an und überlegt sich dann, dass das Differential eines Koordinatenwechsels an jedem Punkt einen linearen Isomorphismus definiert, der die Transformation des Tangentialraums in die andere Karte leistet.Abstrakt definiert man den Tangentialraum an p entweder als den Raum der Derivationen an diesem Punkt oder den Raum von Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven (wobei die Äquivalenzrelation angibt, wann die Geschwindigkeitsvektoren zweier Kurven an p gleich sein sollen).

Die Vereinigung aller Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit bildet ein Vektorbündel, das Tangentialbündel genannt wird. Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit M im Punkt p wird meist mit T_p M bezeichnet, das Tangentialbündel mit TM.

Eines der Unterbündel des Tangentialbündels ist das Einheitstangentialbündel UTM, das nur aus Tangentialvektoren der Länge 1 besteht. Seine Fasern sind keine Vektorräume, sondern Sphären der Dimension n-1. Daher ist es kein Vektorbündel sondern nur ein Faserbündel. Als Bündel ist es unabhängig von der Wahl der Metrik auf den Tangentialräumen.

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