Mannigfaltigkeit

Arten von Mannigfaltigkeiten

Topologische Mannigfaltigkeiten

Sei M ein topologischer Raum. Man nennt M eine (topologische) Mannigfaltigkeit der Dimension n oder kurz eine n-Mannigfaltigkeit, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt werden:

1. M ist ein Hausdorff-Raum.
2. M erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
3. M ist lokal euklidisch, das heißt, jeder Punkt besitzt eine Umgebung, welche homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ist.

Mannigfaltigkeiten erben viele lokale Eigenschaften vom Euklidischen Raum: sie sind lokal wegzusammenhängend, lokal kompakt und lokal metrisierbar.

Mannigfaltigkeiten, welche homöomorph zueinander sind, werden als gleich (beziehungsweise äquivalent) angesehen. Daraus entstand die Frage, wie viele nicht äquivalente Mannigfaltigkeiten es gibt. Es ist jedoch nicht möglich, alle Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren.Die zusammenhängenden 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten sind die reelle Zahlengerade und der Kreis .Die Klassifikation der 2-Mannigfaltigkeiten ist ebenfalls bekannt. Die Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten stellt eine Klassifizierung derselben dar; ihr Beweis durch Grigori Perelman stellt einen der Höhepunkte der Mathematik im frühen 21. Jahrhundert dar.Die 4-dimensionalen Fälle können nicht klassifiziert werden (jede endlich-erzeugte Gruppe ist als Fundamentalgruppe eines solchen Raumes realisierbar, und eine Klassifizierung aller endlich-erzeugten Gruppen ist unmöglich).

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