Lp-Raum

Wichtige Eigenschaften

Dualräume und Reflexivität

Für sind die Dualräume der L^p -Räume über reflexiven Banachräumen E wieder L^p -Räume, siehe Dualität von L^p -Räumen. Konkret gilt

$L^p(\backslash Omega,\backslash mathcal\; A,\backslash mu;\; E)^*\; \backslash cong\; L^q(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu;\; E^*),$

worin q durch definiert ist, außerdem ist der kanonische, isometrische Isomorphismus

$L^q(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu;\; E^*)\backslash to\; L^p(\backslash Omega,\backslash mathcal\; A,\; \backslash mu;\; E)^*$

gegeben durch

$f\; \backslash mapsto\; \backslash left(g\; \backslash mapsto\; \backslash int\_\backslash Omega\backslash !\; \backslash langle\; g(\backslash omega),f(\backslash omega)\backslash rangle\_\{E\; \backslash times\; E^*\}\backslash ,\; \{\backslash rm\; d\}\; \backslash mu(\backslash omega)\backslash right).$

Dabei steht für die kanonische Bilinearform auf , nämlich