Logik

Teilgebiete

Nichtklassische Logiken

Von nichtklassischer Logik bzw. einem nichtklassischen logischen System spricht man, wenn mindestens eines der beiden oben genannten klassischen Prinzipien (Zweiwertigkeit und/oder Extensionalität) aufgegeben wird. Wird das Prinzip der Zweiwertigkeit aufgegeben, entsteht mehrwertige Logik. Wird das Prinzip der Extensionalität aufgegeben, entsteht intensionale Logik. Intensional sind zum Beispiel die Modallogik und die intuitionistische Logik. Werden beide Prinzipien aufgegeben, entsteht mehrwertige intensionale Logik.

Philosophische Logiken

Philosophische Logik ist ein unscharfer Sammelbegriff für verschiedene formale Logiken, die die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik in unterschiedlicher Weise verändern beziehungsweise erweitern, in der Regel indem sie deren Sprache um weitere Operatoren für bestimmte Redebereiche anreichern. Philosophische Logiken sind meist nicht von direktem Interesse für die Mathematik, finden aber Anwendung zum Beispiel in der Sprachwissenschaft oder Informatik. Sie behandeln vielfach Fragestellungen, die weit in die Geschichte der Philosophie zurückreichen und teilweise schon seit Aristoteles diskutiert werden, zum Beispiel den Umgang mit Modalitäten (Möglichkeit und Notwendigkeit).

Der philosophischen Logik zugerechnet werden unter anderem folgende Gebiete:

• Modallogik führt modale Satzoperatoren wie „es ist möglich, dass...“ oder „es ist notwendig, dass...“ ein und untersucht die Gültigkeitsbedingungen modaler Argumente;
• epistemische Logik bzw. doxastische Logik untersucht und formalisiert Aussagen des Glaubens, der Überzeugung und des Wissens sowie aus ihnen gebildete Argumente;
• Deontische Logik oder Normenlogik untersucht und formalisiert Gebote, Verbote und Zugeständnisse („es ist erlaubt, dass...“) sowie aus ihnen gebildete Argumente;
• Temporale Logik der Aktionen, die Quantenlogik und andere temporale Logiken untersuchen und formalisieren Aussagen und Argumente, in denen Bezug auf Zeitpunkte oder Zeitabschnitte genommen wird;
• Interrogativlogik untersucht Fragesätze sowie die Frage, ob sich zwischen Fragesätzen logische Beziehungen herstellen lassen;
• Konditionalsatzlogik untersucht über die materiale Implikation hinausgehenden „Wenn–dann“-Bedingungen;
• Relevanzlogik verwendet anstelle der materialen Implikation eine Implikation, die nur dann wahr ist, wenn ihr Vordersatz für ihren Nachsatz relevant ist (siehe auch das nachfolgende Kapitel)
• Die metakonsistente Logik hat eine alternative Art mit Kontradiktionen umzugehen.

Intuitionismus, Relevanzlogik und konnexe Logik

Die meistdiskutierten Abweichungen von der klassischen Logik stellen solche Logiken dar, die auf bestimmte Axiome der klassischen Logik verzichten. Die im engeren Sinne nicht-klassischen Logiken sind „schwächer“ als die klassische Logik, d.h. in diesen Logiken sind weniger Argumente gültig als in der klassischen Logik, es sind aber alle dort gültigen Argumente auch klassisch gültig.

Hierzu gehören die von L. E. J. Brouwer entwickelte Intuitionistische Logik, welche das „duplex-negatio“-Axiom (aus der doppelten Negation einer Aussage p folgt p)

(DN)

nicht enthält, wodurch der Satz „tertium non datur“ (für jede Aussage p gilt: p oder nicht-p),

(TND)

nicht mehr ableitbar ist, der Minimalkalkül I. Johanssons, womit der Satz „ex falso quodlibet“ (aus einem Widerspruch folgt eine beliebige Aussage),

(EFQ)

nicht mehr abgeleitet werden kann, sowie die sich hieran anschließenden Relevanzlogiken, in welchen nur solche Implikationen gültig sind, in denen das Antezedens für das Sukzedens relevant ist. In der Dialogischen Logik und in den Sequenzenkalkülen sind sowohl die Klassischen als auch die nicht-klassischen Logiken durch entsprechende Zusatzregeln ineinander überführbar.

Auf der anderen Seite sind Logiken zu erwähnen, die Prinzipien enthalten, die klassisch nicht gültig sind. So gilt etwa in einer konnexen Logik – ein Satz, der trotz seiner hohen Plausibilität keine klassische Tautologie darstellt. Insofern die klassische Logik maximal-konsistent ist, d.h. insofern jede echte Verstärkung eines klassischen Kalküls zu einem Widerspruch führen würde, könnte dieser Satz nicht etwa einem klassischen Kalkül als weiteres Axiom hinzugefügt werden; vielmehr müsste ein klassischer Kalkül zunächst schwächer gemacht werden.

Mehrwertige und Fuzzy-Logik

Quer hierzu stehen die mehrwertigen Logiken, in denen das Prinzip der Zweiwertigkeit und oft auch der aristotelische Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gelten, darunter die dreiwertige und die unendlichwertige Logik von Jan Łukasiewicz („Warschauer Schule“). Zahlreiche Anwendungen in der Steuerungstechnik findet die unendlichwertige Fuzzy-Logik, während etwa die endlichwertige Logik von Gotthard Günther („Günther-Logik“) auf Probleme der sich selbst erfüllenden Voraussagen in der Soziologie angewandt wurde.

Nichtmonotone Logiken

Man nennt ein logisches System monoton, wenn jedes gültige Argument auch dann gültig bleibt, wenn man zusätzliche Prämissen hinzufügt: Was einmal bewiesen wurde, bleibt in einer monotonen Logik immer gültig, also auch dann, wenn man zu einem späteren Zeitpunkt über neue Informationen verfügt. Sehr viele logische Systeme haben diese Monotonie-Eigenschaft, darunter alle klassischen Logiken wie die Aussagen- und die Prädikatenlogik.

Im alltäglichen und auch wissenschaftlichen Schließen werden jedoch oft vorläufige Schlussfolgerungen gezogen, die im streng logischen Sinn nicht gültig sind und die unter Umständen zu einem späteren Zeitpunkt revidiert werden müssen. Zum Beispiel ließe sich aus den Aussagen „Tux ist ein Vogel.“ und „Die meisten Vögel können fliegen.“ vorläufig darauf schließen, dass Tux fliegen kann. Wenn wir nun aber die zusätzliche Information „Tux ist ein Pinguin.“ erhalten, dann müssen wir diesen Schluss korrigieren, denn Pinguine sind nicht flugfähige Vögel. Um diese Art des Schließens abzubilden, wurden nichtmonotone Logiken entwickelt: Sie verzichten auf die Monotonie-Eigenschaft, das heißt ein gültiges Argument kann durch das Hinzufügen weiterer Prämissen ungültig werden.

Dies ist freilich nur möglich, wenn eine andere Konsequenzoperation als in einer klassischen Logik verwendet wird. Ein gängiger Ansatz besteht darin, so genannte Defaults zu verwenden. Ein Default-Schluss ist dann gültig, wenn sich nicht aus einem klassisch-logischen Schluss ein Widerspruch zu ihm ergibt.

Die Schlussfolgerung aus dem gegebenen Beispiel würde dann so aussehen: „Tux ist ein Vogel.“ bleibt die Voraussetzung (prerequisite). Wir kombinieren diese nun mit einer so genannten Rechtfertigung (justification): „Vögel können normalerweise fliegen.“ Aus dieser Begründung schließen wir, dass Tux fliegen kann, solange nichts dagegen spricht. Die Konsequenz lautet also „Tux kann fliegen.“ Erhalten wir nun die Informationen „Tux ist ein Pinguin.“ und „Pinguine können nicht fliegen.“, so ergibt sich ein Widerspruch. Über den Default-Schluss sind wir zu der Konsequenz gelangt, dass Tux fliegen kann. Mit einer klassisch-logischen Schlussweise aber konnten wir nachweisen, dass Tux nicht fliegen kann. In diesem Fall wird der Default revidiert und die Konsequenz des klassisch-logischen Schlusses weiterverwendet. Dieses – hier grob beschriebene − Verfahren wird auch als Reitersche Default-Logik bezeichnet.

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