Logik

Teilgebiete

Klassische Logik

Von klassischer Logik bzw. von einem klassischen logischen System spricht man genau dann, wenn folgende semantische Bedingungen erfüllt sind:

1. Jede Aussage hat genau einen von genau zwei Wahrheitswerten, die meist als wahr und falsch bezeichnet werden. Man nennt dieses Prinzip das Prinzip der Zweiwertigkeit oder Bivalenzprinzip.
2. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen und die Art, wie diese zusammengesetzt sind, bestimmt. Dieses Prinzip heißt das Prinzip der Extensionalität oder der Kompositionalität.

Der Begriff klassische Logik ist mehr im Sinn von etablierter, grundlegender Logik zu verstehen, weil die nichtklassischen Logiken auf sie aufbauen, denn als historischer Verweis. Vielmehr war es so, dass bereits Aristoteles, sozusagen der klassische Vertreter der Logik, sich sehr wohl mit mehrwertiger Logik, also nichtklassischer Logik beschäftigt hat.

Die wichtigsten Teilgebiete der formalen klassischen Logik sind die klassische Aussagenlogik, die Prädikatenlogik der ersten Stufe und Logik höherer Stufe, wie sie am Ende des 19. und am Anfang des 20. Jahrhunderts durch Gottlob Frege, Charles Sanders Peirce, Bertrand Russell und Alfred North Whitehead entwickelt wurden. In der Aussagenlogik werden Aussagen daraufhin untersucht, ob sie ihrerseits wieder aus Aussagen zusammengesetzt sind, die durch Junktoren (z. B. „und“, „oder“) miteinander verbunden sind. Besteht eine Aussage nicht aus durch Junktoren verbundenen Teilaussagen, dann ist sie aus Sicht der Aussagenlogik atomar, d. h. nicht weiter zerlegbar.

In der Prädikatenlogik lässt sich auch die innere Struktur von Sätzen darstellen, die aussagenlogisch nicht weiter zerlegbar sind. Dargestellt wird die innere Struktur der Aussagen (Der Apfel ist rot.) dabei durch Prädikate (auch Aussagefunktionen genannt) (ist rot) einerseits und durch deren Argumente andererseits (Der Apfel); dabei drückt das Prädikat zum Beispiel eine Eigenschaft (rot) aus, die auf sein Argument zutrifft, oder eine Relation, die zwischen seinen Argumenten besteht (x ist größer als y). Der Begriff der Aussagefunktion ist aus dem mathematischen Begriff der Funktion abgeleitet. Eine logische Aussagenfunktion hat genau wie eine mathematische Funktion einen Wert, der aber kein numerischer, sondern ein Wahrheitswert ist.

Der Unterschied zwischen Prädikatenlogik der ersten Stufe und Prädikatenlogik höherer Stufe besteht darin, worüber mittels der Quantoren („alle“, „mindestens ein“) quantifiziert wird: In der Prädikatenlogik erster Stufe wird nur über Individuen quantifiziert (z. B. „Alle Schweine sind rosa“), in der Prädikatenlogik höherer Stufe wird auch über Prädikate selbst quantifiziert (z. B. „Es gibt ein Prädikat, das auf Sokrates zutrifft“).

Formal bedarf die Prädikatenlogik einer Unterscheidung zwischen verschiedenen Ausdruckskategorien wie Termen, Funktoren, Prädikatoren und Quantoren. Diese wird in der Stufenlogik, einer Form des typisierten Lambda-Kalküls, überwunden. Dadurch wird zum Beispiel die mathematische Induktion eine gewöhnliche, ableitbare Formel.

Die bis zum 19. Jahrhundert dominante Syllogistik, die auf Aristoteles zurückgeht, lässt sich als ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen. Ein Grundbegriff der Syllogistik ist der Begriff „Begriffe“; er wird dort nicht weiter zerlegt. In der Prädikatenlogik werden Begriffe als einstellige Prädikate ausgedrückt; mit mehrstelligen Prädikaten lässt sich zusätzlich die innere Struktur von Begriffen analysieren und damit die Gültigkeit von Argumenten zeigen, die syllogistisch nicht fassbar sind. Ein häufig zitiertes intuitiv eingängiges Beispiel ist das Argument „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“, das sich erst in höheren Logiken wie der Prädikatenlogik herleiten lässt.

Es ist technisch möglich, die formale Syllogistik des Aristoteles so zu erweitern und zu verändern, dass der Prädikatenlogik gleichmächtige Kalküle entstehen. Solche Unternehmungen sind im 20. Jahrhundert vereinzelt von philosophischer Seite her vorgenommen worden und sind philosophisch motiviert, zum Beispiel aus dem Wunsch heraus, auch rein formal Begriffe als elementare Bestandteile von Aussagen ansehen zu können und sie nicht prädikatenlogisch zerlegen zu müssen. Mehr zu solchen Kalkülen und den philosophischen Hintergründen findet sich im Artikel zur Begriffslogik.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Logik aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung