Logarithmus

Überblick

Die Verwendung des Logarithmus lässt sich bis in die indische Antike zurückverfolgen. Mit dem aufstrebenden Bankwesen und dem Fortschritt der Astronomie im Europa des 17. Jahrhunderts erlangte der Logarithmus immer mehr an Bedeutung. Seine Funktionswerte wurden in Tabellenwerken, den Logarithmentafeln, erfasst, um sie nachschlagen zu können und nicht immer neu berechnen zu müssen. Diese Tabellen wurden schließlich durch Rechenschieber und später durch Taschenrechner verdrängt. Der Wechsel von den Tabellen zum Rechenschieber erfolgte in deutschen Schulen in den 1960er Jahren, der Wechsel zu Taschenrechnern in den 1970er Jahren.

Zentrale Aspekte des Lebens lassen sich mit Hilfe von Logarithmen beschreiben. So nimmt zum Beispiel die Stärke eines Sinneseindrucks in Abhängigkeit von einer physikalischen Größe wie Helligkeit oder Lautstärke entsprechend dem Verlauf einer Logarithmusfunktion zu. Gleiches gilt für die wahrgenommene Tonhöhe in Abhängigkeit von der Frequenz eines Tones.

Logarithmen erlangten ihre historische Bedeutung durch den Zusammenhang

log(xy) = log x + log y,

der es erlaubt, eine Multiplikation durch eine Addition auszudrücken.

Formal sind Logarithmen alle Lösungen x der Gleichung

a = b^x

zu vorgegebenen Größen a und b.

Je nachdem, über welchem Zahlenbereich und für welche Größen diese Gleichung betrachtet wird, hat sie keine, mehrere oder genau eine Lösung. Ist die Lösung eindeutig, dann wird sie als der Logarithmus von a zur Basis b bezeichnet und man schreibt

x = log _b a

Beispielsweise ist 3 der (reelle) Logarithmus von 8 zur Basis 2, geschrieben log ₂ 8 = 3, denn es ist 2³ = 8.

Falls die obige Gleichung nach b aufzulösen ist anstatt nach x, so ist die Lösung gegeben durch die x-te Wurzel aus a.

Am bekanntesten und am weitesten verbreitet ist der Logarithmus über den reellen Zahlen, der im Folgenden vornehmlich dargestellt wird.

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