Logarithmus

Rechenregeln und grundlegende Eigenschaften

Logarithmengesetze

Im Folgenden wird stets vorausgesetzt, dass die Variablen x, y, x_i , r, a, b von Null verschieden sind; im Falle des reellen Logarithmus werden die Zahlen sogar als positiv vorausgesetzt. Die Basis a des Logarithmus darf ferner nicht 1 sein.

Produkte

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel

zur Verfügung; oder allgemeiner:

bzw.

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Quotienten

Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall

angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers x minus den Logarithmus des Nenners y.

Summen und Differenzen

Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie x + y hergeleitet werden, indem x ausgeklammert wird:

Damit ergibt sich die Regel

Potenzen

Für Potenzen mit reellem Exponent r gilt die Regel

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Daraus lässt sich für r = -1

ermitteln.

Der Logarithmus eines Stammbruchs 1/x ist der negative Logarithmus des Nenners x.

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel

Basisumrechnung

Um Logarithmen zur Basis b mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis a zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

denn es gelten mit die Umformungen

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