Logarithmus

Komplexer Logarithmus

Riemannsche Fläche der komplexen Logarithmus-Funktion, die Blätter entstehen aufgrund der Mehrdeutigkeit

Hauptwert des Logarithmus = ln z

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w, welche die Gleichung

e^w = z

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da

gilt, siehe dazu auch Eulersche Identität. Hat man also einen Logarithmus w von z gefunden, so ist damit auch

ein Logarithmus von z, da gilt:

Um Eindeutigkeit zu erreichen, schränkt man w auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z. B. den Streifen

verwenden. Eine komplexe Zahl aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt w = ln z.Stellt man z in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion:

Für k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:

ln z = ln | z | + iarg z

ln

ist nicht stetig auf . Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln auf dem Gebiet

stetig und sogar holomorph. Allgemeiner gilt dies für alle einfach zusammenhängenden, offenen Teilmengen von .

Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen:

Man muss jedoch beachten, dass im Komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten, sondern nur noch modulo . Es gilt dann beispielsweise nicht notwendig

wegen

Und auch die Gleichung

ist nicht notwendig erfüllt, was durch das Gegenbeispiel

verdeutlicht wird.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Logarithmus aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung