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Logarithmus| Definition | |
\frac{\log_a(b^L)}{\log_a b}/ \frac{L \log_a b}{\log_a b}/ L/ \log_b r . | |
Logarithmus
Definition
Der Logarithmus über den positiven reellen Zahlen kann auf verschiedene Art und Weisen eingeführt werden. Je nach Hintergrund und Intention wird man den einen oder anderen Zugang wählen.
Die einzelnen Definitionen sind untereinander äquivalent und erfolgen mit besonderem Fokus auf den natürlichen Logarithmus, der aus Sicht des Mathematikers auf natürliche Art auftritt, wie bei dem Zugang über die Funktionalgleichung oder über die Stammfunktion von 1/t erkennbar wird.
Als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis b:
Die Funktionen bx und log b x sind also Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt:
- blog b x = x und logb (bx ) = x
Der natürliche Logarithmus ergibt sich mit der Basis b = e, wobei
- e = 2, 718281828459...
die eulersche Zahl ist.
Als Lösung einer Funktionalgleichung
Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen, stetigen Lösungen L der Funktionalgleichung
Diese Lösungen erweisen sich sogar als differenzierbar. Den natürlichen Logarithmus erhält man dann zusammen mit der Zusatzbedingung
- L'(1) = 1
Die Zusatzbedingung ist einer der Gründe dafür, den so erhaltenen Logarithmus als natürlich zu bezeichnen. Wollte man den Logarithmus zu einer anderen Basis b über die Zusatzbedingung erhalten, dann müsste man
fordern und würde wieder den natürlichen Logarithmus benötigen.
Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung ist die Nullfunktion L(x) = 0, welche nicht als Logarithmusfunktion angesehen wird.
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