Logarithmus

Berechnung des Logarithmus

Potenzreihe

Illustration der ersten Teilsummen der von Nikolaus Mercator entdeckten Reihendarstellung des natürlichen Logarithmus; die Reihe konvergiert nur im nicht-schraffierten Bereich.

Die Potenzreihenentwicklung

des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell.

Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung,die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht:

Illustration der Konvergenz der nebenstehenden artanh-Entwicklung für unterschiedliche Anzahl von Summanden

mit der Restgliedabschätzung

Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert umso besser,je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass giltund erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für 2 ^{- m} x berechnet. Allerdings muss man zusätzlich noch eine Näherung für berechnen, was über die gleiche Reihe erfolgt.

Wenn man aus obiger Formel die Restgliedabschätzung entfernt, erhält man:

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