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Lösbarkeitskriterien linearer Gleichungssysteme

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Bei der Beurteilung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen spielt der Rang zugeordneter Matrizen eine entscheidende Rolle.

Ist und , so bezeichnet man mit die Matrix .

Satz 16C5 (Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme)

Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit . Ferner sei , die zu A gehörige Standardabbildung.

Dann gilt:

Lösbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent:

Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist lösbar
rang A = rang(A | b)

Universelle Lösbarkeit

Universelle Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem für jedes lösbar ist.

Folgende Aussagen sind äquivalent:

Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist universell lösbar
rang A = m
f ist surjektiv

Eindeutige Lösbarkeit

Eindeutige Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem Ax = b genau eine Lösung besitzt.

Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rang A = rang(A | b) = n gilt.

Unter Vorraussetzung der Lösbarkeit von Ax = b sind folgende Aussagen äquivalent:

Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar
rang A = n
f ist injektiv

Beweis

Lösbarkeit

(i) (iii) ist lediglich eine Umformulierung.

(ii) (iii) ergibt sich aus und weil von den Spalten von A erzeugt wird (vgl. Bemerkung 16B7 und Satz 16B8)

Universelle Lösbarkeit

(ii) (iii) f surjektiv (Satz 15XH und Satz 16B8)

(i) (ii) f ist surjektiv genau dann, wenn es zu jedem ein Urbild mit f(x) = b gibt. Da f die Standardabbildung für A ist, bedeutet dies aber gerade, dass das Gleichungssystem Ax = b universell lösbar ist.

Eindeutige Lösbarkeit

(iii) (iv): siehe Satz 15XH

(i) (iv): Sei Ax = b eindeutig lösbar und , also gilt: A(x + z) = Ax + Az = b + 0 = b. Damit ist z = 0, wegen der eindeutigen Lösbarkeit von Ax = b und .

(iii) (i): Aus der Injektivität von f folgt mit der Existenz einer Lösung sofort ihre Eindeutigkeit.

(iv) (ii): Nach der Dimensionsformel und Satz 16B8 gilt: , wegen .

Bleibt der erste Teil zu zeigen. Wir haben soeben erledigt, dass aus der eindeutigen Lösbarkeit rang A = n folgt.

Bleibt zu zeigen, dass aus rang A = rang(A | b) = n die eindeutige Lösbarkeit folgt. Aus rang A = rang(A | b) folgt die Existenz einer Lösung. Aus rang A = n folgt dann mit dem gerade Gezeigten, dass die Lösung eindeutig ist.

Tabelle zur Lösbarkeit

Lineares Gleichungssystem Ax = b mit und wir identifizieren A mit ihrer Standardabbildung.

lösbar	universell lösbar	eindeutig lösbar (falls Lösung existiert)
rang A = rang(A \| b)	rang A = m	rang A = n
	A surjektiv	A injektiv

Folgerung 16C6

Im Falle eine quadratischen Matrix sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Ax = b ist eindeutig lösbar
rang A = n
Ax = b ist für alle eindeutig lösbar
Ax = 0 besitzt nur die triviale Lösung x = 0
A ist invertierbar

Im Fall Ax = b ist dann x = A^-1 b die Lösung.

Beweis

(i) (ii): nach Satz 16C5 (eindeutige Lösbarkeit).

(ii) (iii): nach Satz 16C5 (eindeutige und universelle Lösbarkeit).

(iii) (iv): Man setze b = 0.

(ii) (v): nach Satz 16B9.

Ax = b .

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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