Lipschitz-Stetigkeit

Definition

Eine Funktion heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante L existiert, so dass

für alle .

Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.

Seien (X, d_X ) und (Y, d_Y ) metrische Räume.Eine Funktion heißt Lipschitz-stetig, falls es eine reelle Zahl L gibt, sodass

erfüllt ist. L wird Lipschitz-Konstante genannt und es gilt stets . Anschaulich gesprochen ist der Betrag der Steigung von f nach oben durch L beschränkt. Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, so sagt man auch, sie erfülle die Lipschitz-Bedingung.

Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Eine Funktion heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn es um jeden Punkt in X eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von f auf diese Umgebung Lipschitz-stetig ist. Eine Funktion, die nur auf einer Teilmenge definiert ist, heißt Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig, wenn sie Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig bezüglich der metrischen Räume (A, d_X | A) und (Y, d_Y ) ist.

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