Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

   - Reelle Zahlen

   - Reelle Funktionen

      - Definitionen

      - Klassen von Funktionen

      - Grenzwerte und Stetigkeit

      - Differentialrechnung

          Linearisierung

         - Regeln/

          Funkktionenklassen

          Höhere Ableitungen

         - Sätze

          Beispiele

         - Anwendungen

          Regel von de l'Hospital

         - Taylorreihen

         - Landau-Symbole

          Zusammenfassung

      - Integralrechnung

       Implizite Funktionen

   - Funktionsfolgen und -reihen

   - Spezielle Funktionen

   - Mehrdimensionale Analysis

   - Funktionentheorie

   - Spezielle Teilgebiete

   - Maß- und Integrationstheorie

    Variationsrechnung

    Nichtstandardanalysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Linearisierung

Die Bedeutung der Differentialrechnung erklärt sich daraus, dass sie eine Linearisierung darstellt und lineare Funktionen sind einfacher zu behandeln. Funktionen können durch ihre Ableitungen in Punkten durch Geraden angenähert werden. Denn es gilt:

Satz 15VC

Wenn für eine Funktion f an der Stelle x₀ die Ableitung f '(x₀ ) existiert, dann ist

,

wobei gilt.

Für Werte nahe 0 kann man den Wert von R(x) vernachlässigen und der Term für f(x) ist eine Geradengleichung.

Beweis

Wir wählen für und R(x₀ ) = 0. Dann ist wegen der Definition der Ableitung .

Es gilt dann:

.

Beispiel

Für die Funktion f(x) = sin x wollen wir eine Näherung für x₀ = 0 ermitteln. Es ist f '(x) = cos x (Satz 5317E) und damit gilt:

.

Es gilt , womit die Näherung für kleine x sehr gut zu sein scheint.

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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