Formelsammlung Mathe

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Linearisierung

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Die Bedeutung der Differentialrechnung erklärt sich daraus, dass sie eine Linearisierung darstellt und lineare Funktionen sind einfacher zu behandeln. Funktionen können durch ihre Ableitungen in Punkten durch Geraden angenähert werden. Denn es gilt:

Satz 15VC

Wenn für eine Funktion f an der Stelle x0 die Ableitung f '(x0 ) existiert, dann ist

,

wobei gilt.

Für Werte nahe 0 kann man den Wert von R(x) vernachlässigen und der Term für f(x) ist eine Geradengleichung.

Beweis

Wir wählen für und R(x0 ) = 0. Dann ist wegen der Definition der Ableitung .

Es gilt dann:

.

Beispiel

Für die Funktion f(x) = sin x wollen wir eine Näherung für x0 = 0 ermitteln. Es ist f '(x) = cos x (Satz 5317E) und damit gilt:

.

Es gilt , womit die Näherung für kleine x sehr gut zu sein scheint.


So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

 

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