Lineare Unabhängigkeit

In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden. Man kann zeigen, dass diese Bedingung dazu äquivalent ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Andernfalls heißen sie linear abhängig. Die Bezeichnung „linear voneinander abhängig“ ist unpräzise, da diese fälschlicherweise suggeriert, dass jeder der beteiligten Vektoren sich durch die anderen darstellen ließe. Denn die Abhängigkeitsbeziehung besteht zunächst nur zwischen zwei betrachteten Vektoren.

Der Umkehrschluss „bei einer linear abhängigen Vektormenge lässt sich jeder Vektor der Menge als Linearkombination der übrigen darstellen“ ist nicht zulässig.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Euklidischen Raum die Vektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) linear unabhängig. Die Vektoren (2, -1, 1), (1, 0, 1) und (3, -1, 2) sind hingegen linear abhängig, denn der dritte Vektor ist die Summe der beiden ersten, d. h. die Summe der ersten beiden minus den dritten ergibt den Nullvektor. Die Vektoren (1, 2, - 3), ( - 2, - 4, 6) und (1, 1, 1) sind wegen ebenfalls linear abhängig; jedoch ist hier der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar.

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