Lineare Optimierung

Beispiel aus der Produktionsplanung (zweidimensional)

Geometrische Interpretation als Polyeder

Im nebenstehenden Bild sind die Ungleichungen aus dem obigen Beispiel als türkise, schwarze und violette Beschränkungen eingezeichnet. Zusammen definieren sie das (blau umrandete) Polyeder der zulässigen Punkte. Die rotgestrichelten Linien stellen Iso-Gewinnfunktionen dar, d. h., alle Punkte auf einer solchen Linie haben denselben Zielfunktionswert. Da die Firma möglichst viel produzieren will, ist das Ziel der Optimierung, solch eine rot gestrichelte Linie so weit nach rechts oben zu schieben, dass sie gerade noch das Polyeder berührt. Alle Berührungspunkte sind dann optimal. In diesem Fall ist der Punkt (130,20) die eindeutige optimale Ecke, und der optimale Zielfunktionswert beträgt 49.000 Euro.

Im Allgemeinen ist die Optimallösung eines linearen Optimierungsproblems allerdings weder eindeutig noch ganzzahlig. Wenn beispielsweise beide Produkte den gleichen Deckungsbeitrag hätten, wären die roten Iso-Gewinnfunktionen parallel zur Ungleichung . In diesem Fall wäre jeder Punkt auf der Strecke zwischen (130,20) und (150,0) optimal, es gäbe also unendlich viele Optimallösungen.

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