Lineare Hülle

Eigenschaften

Seien zwei Mengen Teilmengen des K-Vektorraumes: . Dann gilt:

(i) ,
(ii) ,
(iii) .
Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator.

Weiter gilt:

• Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums V ist ein Unterraum von V.
• Für jeden Unterraum U eines Vektorraums V gilt .
• Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes, so ist dieser ihre lineare Hülle.
• Die Summe zweier Unterräume U₁ , U₂ ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge, also .
• In der Menge T der Unterräume eines Vektorraumes (einschließlich des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die lineare Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu duale Verknüpfung ist die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet T dann einen Verband.
• Sind U, V Unterräume eines Vektorraumes, dann gilt für die Dimensionen der linearen Hülle und der Schnittmenge die Formel:

.

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