Lineare Gleichungssysteme

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Ein System von m linearen Gleichungen der Form

heißt lineares Gleichungssystem. Die x_k sind dabei die Unbekannten und die a_ij bekannte Größen. Diese Werte stammen im Allgemeinen aus einem beliebigen Körper K.

Bildet man aus den a_ij eine Matrix A = (a_ij ) und setzt und , so kann man nach Definition der Matrizenmultiplikation das lineare Gleichungssystem als Ax = b schreiben, muss aber im Kopf behalten, dass es sich bei dieser Gleichung nicht um eine Gleichung zwischen Zahlen handelt sondern Matrizen und Vektoren beteiligt sind.

Gilt b = 0, verschwindet also die rechte Seite, so spricht man von einem homogenen linearen Gleichungssystem. Für ein solches System ist der Nullvektor x = 0 stets eine Lösung. Ganz allgemein ist jeder Vektor aus dem Kern der Standardabbildung von A Lösung des homogenen Systems.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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