Lineare Algebra

Wichtige Sätze und Ergebnisse

Jeder Vektorraum hat mindestens eine Basis.Je zwei Basen eines Vektorraumes haben gleich viele Elemente; nurdeshalb ist es sinnvoll von der Dimension eines Vektorraumes zu sprechen.Für Summen und Durchschnitte von Untervektorräumen gilt die Dimensionsformel und für die Dimensionen von Faktorräumen die Formel dim V/U = dim V - dim U.

Jede lineare Abbildung ist durch dieAngabe der Bilder einer Basis von V eindeutig festgelegt.Für lineare Abbildungen gelten der Homomorphiesatz und der Rangsatz.Lineare Abbildungen können bezüglich fest gewählter Basen durch Matrizen dargestellt werden. Dabei entspricht der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen die Multiplikation ihrer Darstellungsmatrizen.

Ein lineares Gleichungssystem mit

FormelGen :$A \in \mathbb{K}^ $: Kein Paramter für Hoch/Tiefstellung

FormelGen :$\begin{pmatrix}A & b\end{pmatrix}$: Value of '0' is not valid for 'emSize'. 'emSize' should be greater than 0 and less than or equal to System.Single.MaxValue.
Parameter name: emSize

Eine lineare Abbildung (also einEndomorphismus) eines endlichdimensionalen Vektorraumes V istbereits invertierbar, wenn sie injektiv oder surjektiv ist. Dies istwiederum genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ungleich null ist.Hieraus folgt, dass die Eigenwerte eines Endomorphismus genau die Nullstellen seines charakteristischen Polynoms sind. Eine weitere wichtige Aussage über das charakteristische Polynom ist der Satz von Cayley-Hamilton.

Ein Endomorphismus (bzw. eine quadratische Matrix) ist genau danndiagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert dessen algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit, also die Nullstellenordnung des Eigenwerts im charakteristischen Polynom gleich der Dimension des zugehörigen Eigenraumes ist. Äquivalent dazu ist die Existenz einer Basis des Vektorraumes, die aus Eigenvektoren der linearen Abbildung besteht. Endomorphismen, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, sind immerhin noch trigonalisierbar, können also durch eine Dreiecksmatrix dargestellt werden. Ein etwas tiefer liegendes Ergebnis ist, dass die darstellende Matrix dabei sogar in jordansche Normalform gebracht werden kann.

In Vektorräumen, auf denen zusätzlich ein Skalarprodukt gegeben ist,wird durch eineNorm definiert. In diesen Skalarprodukträumenexistieren stets Orthonormalbasen, die etwa durch dasGram-SchmidtscheOrthonormalisierungsverfahren konstruiert werden können. Nach demProjektionssatz kann man in diesen Räumen die Bestapproximation auseinem Untervektorraum durch orthogonale Projektion bestimmen.

Bezüglich der Diagonalisierbarkeit von Endomorphismen in Skalarprodukträumenstellt sich die Frage, ob eine Orthonormalbasis aus Eigenvektorenexistiert. Das zentrale Resultat hierzu ist der Spektralsatz.Insbesondere gilt im reellen Fall: Zu jeder symmetrischen Matrix

FormelGen :$A \in \mathbb{\R}^$: Kein Paramter für Hoch/Tiefstellung

Auch Bilinearformen und Sesquilinearformen können bei fest gewähltenBasen durch Matrizen dargestellt werden. Eine Bilinearform ist genau dannsymmetrisch und positiv definit, also ein Skalarprodukt,wenn ihre darstellende Matrix symmetrisch und positiv definit ist. Einesymmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle ihreEigenwerte positiv sind. Allgemein gilt für symmetrische Bilinearformen undhermitesche Sesquilinearformen der Trägheitssatz von Sylvester, derbesagt, dass die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte derdarstellenden Matrizen nicht von der Wahl der Basis abhängen.

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