Lineare Algebra

Vektorräume und Lineare Algebra

Der Begriff des Vektorraumes entsteht als Abstraktion der obigen Beispiele: Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente Vektoren genannt werden, zusammen mit

• einer Addition von Vektoren
• einer Multiplikation von Vektoren mit Elementen eines fixierten Körpers, Skalarmultiplikation (äußere Multiplikation) genannt.

Diese Addition und die Skalarmultiplikation müssen noch einige einfache Eigenschaften erfüllen, die auch für die Vektoren im Anschauungsraum gelten.

Man könnte sagen, dass Vektorräume gerade so definiert sind, dass man von linearen Abbildungen zwischen ihnen sprechen kann.

In gewisser Weise ist der Begriff des Vektorraums für die Lineare Algebra bereits zu allgemein. Man kann jedem Vektorraum eine Dimension zuordnen, beispielsweise hat die Ebene Dimension 2 und der Anschauungsraum die Dimension 3. Es gibt aber Vektorräume, deren Dimension nicht endlich ist, und viele der bekannten Eigenschaften gehen verloren. Es hat sich aber als sehr erfolgreich erwiesen, unendlichdimensionale Vektorräume mit einer zusätzlichen topologischen Struktur auszustatten; die Untersuchung topologischer Vektorräume ist Gegenstand der Funktionalanalysis.

Der Rest dieses Artikels beschäftigt sich mit dem Fall endlicher Dimensionen.

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