Lineare Algebra

Lineare Gleichungssysteme

Als lineare Gleichungssysteme bezeichnet man eine Zusammenfassung von Gleichungen der Art

x₁ + x₂ = 1

3x₁ + 6x₂ = 4

Derartige Gleichungssysteme erhält man aus vielen alltäglichen Fragestellungen, beispielsweise:

In welchem Verhältnis muss man eine 30%-ige Lösung und eine 60%-ige Lösung mischen, um eine 40%-ige Lösung zu erhalten?

Der wesentliche Abstraktionsschritt der Linearen Algebra besteht nun darin, die linken Seiten als eine Funktion A der Unbekannten x = (x₁ , x₂ ) aufzufassen:

Dann wird die Lösung des Gleichungssystems zu der Aufgabe: Finde ein x, so dass

gilt. Das Übereinanderschreiben ist dabei lediglich ein Formalismus, um mit mehr als einer Zahl gleichzeitig umgehen zu können.

Statt A schreibt man auch einfach die relevanten Zahlen in Form eines Rechtecks auf und nennt das Objekt eine Matrix:

.

Man stellt fest, dass die Funktion A spezielle Eigenschaften hat, sie ist eine lineare Abbildung. Ist x eine Lösung für das Gleichungssystem A(x) = b, und y eine Lösung des Gleichungssystems A(y) = c, so ist

eine Lösung von A(z) = b + c. Man kann das auch in der Form A(x + y) = A(x) + A(y) schreiben. Ist weiter irgendeine reelle Zahl, so ist ; dabei ist

.

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