Lineare Algebra

Endomorphismen und quadratische Matrizen

Invertierbarkeit

Analog zur Rechenregel x⁰ = 1 bei Zahlen ist die nullte Potenz einer quadratischen Matrix die Diagonalmatrix E (Einheitsmatrix) mit Einsen auf der Diagonalen und in der alle restlichen Elemente Null sind, sie entspricht der Identitätsabbildung jedes Vektors auf sich selbst. Negative Potenzen einer quadratischen Matrix A lassen sich nur berechnen, wenn die durch A gegebene lineare Abbildung invertierbar ist, also keine zwei unterschiedlichen Vektoren u₁ und u₂ auf denselben Vektor Au₁ = Au₂ abbildet. Anders ausgedrückt, muss für eine invertierbare Matrix A aus stets folgen, das lineare Gleichungssystem Au = 0 darf also nur die Lösung 0 haben. Zu einer invertierbaren Matrix A existiert eine inverse Matrix A^-1 mit A^-1 A = AA^-1 = E.

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