Lineare Algebra

Beispiel

Eigenwerte

Wie kommt man von der Matrix A auf die Zahl ? An der Diagonalmatrix erkennt man sofort, dass

,

es also einen Vektor u ungleich Null gibt, der durch Multiplikation mit der Diagonalmatrix komponentenweise vervielfacht (genauer: ver--facht) wird: .Die Zahl heißt wegen dieser Eigenschaft ein Eigenwert der Matrix T^-1 AT (mit Eigenvektor u). Im Fall von Diagonalmatrizen sind die Eigenwerte gleich den Diagonaleinträgen.

ist aber auch zugleich Eigenwert der ursprünglichen Matrix A (mit Eigenvektor Tu, denn ), die Eigenwerte bleiben bei Transformation der Matrix also unverändert. Die Diagonalform der Matrix A ergibt sich demnach aus deren Eigenwerten, und um die Eigenwerte von A zu finden, muss man untersuchen, für welche Zahlen x das lineare Gleichungssystem Au = xu eine von Null verschiedene Lösung u hat (oder, anders ausgedrückt, die Matrix xE - A nicht invertierbar ist).

Die gesuchten Zahlen x sind genau diejenigen, die die Determinante der Matrix xE - Azu Null machen. Diese Determinante ist ein polynomialer Ausdruck mit x (das sogenannte charakteristische Polynom von A); im Falle der oben genannten 2-mal-2-Matrix A ergibt dies die quadratische Gleichung x² - x - 1 = 0 mit den beiden Lösungen und . Die zugehörigen Eigenvektoren sind Lösungen der linearen Gleichungssysteme bzw. , sie bilden dann die Spalten der Transformationsmatrix T.

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