Lineare Algebra

Beispiel

Diagonalisierbarkeit

Ob eine Matrix diagonalisierbar ist, hängt vom verwendeten Zahlbereich ab. A ist z. B. über den rationalen Zahlen nicht diagonalisierbar, weil die Eigenwerte und irrationale Zahlen sind. Die Diagonalisierbarkeit kann aber auch unabhängig vom Zahlbereich scheitern, wenn nicht "genügend" Eigenwerte vorhanden sind; so hat etwa die Jordanform-Matrix

nur den Eigenwert 1 (als Lösung der quadratischen Gleichung (x-1)² = 0) und ist nicht diagonalisierbar. Bei genügend großem Zahlbereich (z. B. über den komplexen Zahlen) lässt sich aber jede Matrix diagonalisieren oder in Jordansche Normalform transformieren.

Da die Transformation einer Matrix dem Basiswechsel einer linearen Abbildung entspricht, besagt diese letzte Aussage, dass man zu einer linearen Abbildung bei genügend großem Zahlbereich stets eine Basis wählen kann, die "auf einfache Weise" abgebildet wird: Im Fall der Diagonalisierbarkeit wird jeder Basisvektor auf ein Vielfaches von sich abgebildet (ist also ein Eigenvektor); im Fall der Jordanform auf ein Vielfaches von sich plus evtl. den vorigen Basisvektor. Diese Theorie der linearen Abbildung lässt sich auf Körper verallgemeinern, die nicht "genügend groß" sind; in ihnen müssen neben der Jordanform andere Normalformen betrachtet werden (z. B. die Frobenius-Normalform).

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