Lineare Algebra

Beispiel

Obige Begriffe sollen an einem durch die Fibonacci-Folge motivierten Beispiel verdeutlicht werden.

Berechnung von Potenzen mittels Diagonalisierung

Die Fibonacci-Folge f_n ist durch die rekursive Formelf₀ = 0, f₁ = 1 und f_{n + 1} = f_n + f_n-1 definiert, wasgleichbedeutend ist mit

und

,

also mit der nicht rekursiven Formel

,

in der die n-te Potenz einer Matrix A vorkommt.

Das Verhalten einer solchen Matrix bei Potenzierung ist nicht leicht zu erkennen; hingegen wird die n-te Potenz einer Diagonalmatrix einfach durch Potenzierung jedes einzelnen Diagonaleintrags berechnet. Wenn es nun eine invertierbare Matrix T gibt, so dass T^-1 AT Diagonalform hat, lässt sich die Potenzierung von A auf die Potenzierung einer Diagonalmatrix zurückführen gemäß der Gleichung (T^-1 AT)ⁿ = T^-1 Aⁿ T (die linke Seite dieser Gleichung ist dann die n-te Potenz einer Diagonalmatrix). Allgemein lässt sich durch Diagonalisierung einer Matrix ihr Verhalten (bei Potenzierung, aber auch bei anderen Operationen) leichter erkennen.

Fasst man A = _v f_v als Matrix einer linearen Abbildung auf, so ist die Transformationsmatrix T die Basiswechselmatrix zu einer anderen Basis v', also T = _v e_v' (wobei die Identitätsabbildung e jeden Vektor auf sich selbst abbildet). Dann ist nämlich T^-1 AT = _v' f_v' . Im oben genannten Beispiel lässt sich eine Transformationsmatrix T finden, so dass

eine Diagonalmatrix ist, in der der goldene Schnitt vorkommt.Hieraus erhält man schließlich die Formel.

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