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Grundlagen der Mathematik

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Lineare Algebra

Die Lineare Algebra (auch Vektoralgebra) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt. Dies schließt insbesondere auch die Betrachtung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen mit ein.

Vektorräume und deren lineare Abbildungen sind ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik. Außerhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen u. a. in den Naturwissenschaften und in der Wirtschaftswissenschaft (z. B. in der Optimierung).

Die lineare Algebra entstand aus zwei konkreten Anforderungen heraus: einerseits dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, andererseits der rechnerischen Beschreibung geometrischer Objekte, der so genannten analytischen Geometrie.

Geschichte

Im Jahr 1750 veröffentlichte Gabriel Cramer die nach ihm benannte Cramer'sche Regel. Damit war man erstmals im Besitz einer Lösungsformel für viele lineare Gleichungssysteme. Die Cramer'sche Regel gab zudem entscheidende Impulse für die Entwicklung der Determinantentheorie in den folgenden fünfzig Jahren.

Die Geschichte der modernen linearen Algebra reicht zurück bis in die Jahre 1843 und 1844. 1843 erdachte William Rowan Hamilton (von dem der Begriff Vektor stammt) mit den Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen. 1844 veröffentlichte Hermann Grassmann sein Buch Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley führte dann 1857 mit den 2×2-Matrizen eine der grundlegendsten algebraischen Ideen ein.

Lineare Gleichungssysteme

Als lineare Gleichungssysteme bezeichnet man eine Zusammenfassung von Gleichungen der Art

x₁ + x₂ = 1

3x₁ + 6x₂ = 4

Derartige Gleichungssysteme erhält man aus vielen alltäglichen Fragestellungen, beispielsweise:

In welchem Verhältnis muss man eine 30%-ige Lösung und eine 60%-ige Lösung mischen, um eine 40%-ige Lösung zu erhalten?

Der wesentliche Abstraktionsschritt der linearen Algebra besteht nun darin, die linken Seiten als eine Funktion A der Unbekannten x = (x₁ , x₂ ) aufzufassen:

Dann wird die Lösung des Gleichungssystems zu der Aufgabe: Finde ein x, so dass

gilt. Das Übereinanderschreiben ist dabei lediglich ein Formalismus, um mit mehr als einer Zahl gleichzeitig umgehen zu können.

Statt A schreibt man auch einfach die relevanten Zahlen in Form eines Rechtecks auf und nennt das Objekt eine Matrix:

Man stellt fest, dass die Funktion A spezielle Eigenschaften hat, sie ist eine lineare Abbildung. Ist x eine Lösung für das Gleichungssystem A(x) = b, und y eine Lösung des Gleichungssystems A(y) = c, so ist

eine Lösung von A(z) = b + c. Man kann das auch in der Form A(x + y) = A(x) + A(y) schreiben. Ist weiter irgendeine reelle Zahl, so ist ; dabei ist

Siehe auch: Lineares Gleichungssystem

Analytische Geometrie

Der andere Ursprung der linearen Algebra findet sich in der rechnerischen Beschreibung des 2- und 3-dimensionalen (euklidischen) Raumes, auch "Anschauungsraum" genannt. Mit Hilfe eines Koordinatensystems können Punkte im Raum durch Tripel (x₁ , x₂ , x₃ ) von Zahlen beschrieben werden. Der Abbildungtyp der Verschiebung führt zum Begriff des Vektors, der Richtung und Betrag der Verschiebung angibt. Viele physikalische Größen, beispielsweise Kräfte, haben stets diesen Richtungsaspekt.

Da man auch Vektoren durch Zahlentripel (a₁ , a₂ , a₃ ) beschreiben kann, verschwimmt die Trennung zwischen Vektoren und Punkten: einem Punkt P entspricht sein Ortsvektor, der vom Koordinatenursprung nach P zeigt.

Viele der in der klassischen Geometrie betrachteten Abbildungstypen, beispielsweise Drehungen um Achsen durch den Ursprung oder Spiegelungen an Ebenen durch den Ursprung, gehören zur Klasse der linearen Abbildungen, die schon oben erwähnt wurde.

Siehe auch: Analytische Geometrie

Vektorräume und lineare Algebra

Der Begriff des Vektorraums entsteht als Abstraktion der obigen Beispiele: Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente Vektoren genannt werden, zusammen mit

einer Addition von Vektoren
einer Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen, Skalarmultiplikation (äußere Multiplikation) genannt.

Diese Addition und die Skalarmultiplikation müssen noch einige einfache Eigenschaften erfüllen, die auch für die Vektoren im Anschauungsraum gelten.

Man könnte sagen, dass Vektorräume gerade so definiert sind, dass man von linearen Abbildungen zwischen ihnen sprechen kann.

In einer weiteren Verallgemeinerung kann man die reellen Zahlen durch andere Körper ersetzen.

Siehe auch: Vektorraum

Vektoren und Matrizen

Vektoren können durch ihre Komponenten beschrieben werden, die (je nach Anwendung) als (hier 3-dimensionaler) Spaltenvektor

oder (hier 4-dimensionaler) Zeilenvektor

b = (4 6 3 7)

geschrieben werden.

In der Literatur werden Vektoren unterschiedlich von anderen Größen unterschieden: Es werden Kleinbuchstaben, fettgedruckte Kleinbuchstaben, unterstrichene Kleinbuchstaben oder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benutzt. Dieser Artikel verwendet Kleinbuchstaben.

Eine Matrix wird durch ein Raster von Zahlen angegeben. Hier ist eine Matrix mit 4 Zeilen und 3 Spalten:

Matrizen werden meistens mit Großbuchstaben bezeichnet.

Einzelne Elemente eines Vektors werden bei Spaltenvektoren in der Regel durch einen Index angegeben: Das 2. Element des oben angegebenen Vektors a wäre dann a₂ =7. In Zeilenvektoren wird manchmal eine Hochzahl verwendet, wobei man aufpassen muss, ob eine Vektorindizierung oder ein Exponent vorliegt: Mit dem obigen Beispiel b hat man etwa b⁴ =7.

Matrixelemente werden durch zwei Indizes angegeben. Dabei werden die Elemente durch Kleinbuchstaben dargestellt: m_{2, 3} =2 ist das Element in der 3. Spalte der 2. Zeile.

Der verallgemeinerte Begriff dieser Gebilde ist Tensor, Skalare sind Tensoren 0. Stufe, Vektoren Tensoren 1. Stufe, Matrizen Tensoren 2. Stufe. Ein Tensor n. Stufe kann durch einen n-dimensionalen Zahlen-Würfel repräsentiert werden.

Matrizen spezieller Form

In der linearen Algebra ist es oft erforderlich, Matrizen mittels elementarer Zeilenumformungen oder Basiswechsel auf eine spezielle Form zu bringen. Wichtig sind dabei folgende Formen:

Dreiecksmatrix,
Diagonalmatrix und
Matrizen in Jordanform.

Endomorphismen und quadratische Matrizen

Bei der Darstellung einer linearen Abbildung - wie unter Matrix beschrieben - gibt es den Sonderfall einer linearen Abbildung f eines endlich-dimensionalen Vektorraums auf sich selbst (eines sogenannten Endomorphismus). Man kann dann dieselbe Basis v für Urbild- und Bildkoordinaten verwenden und erhält eine quadratische Matrix A = _v f_v , so dass die Anwendung der linearen Abbildung der Linksmultiplikation mit A entspricht. Die zweimalige Hintereinanderausführung dieser Abbildung entspricht dann der Multiplikation mit A² usw., und man kann alle polynomialen Ausdrücke mit A (Summen von Vielfachen von Potenzen von A) als lineare Abbildungen des Vektorraums auffassen.

Invertierbarkeit

Analog zur Rechenregel x⁰ = 1 bei Zahlen ist die nullte Potenz einer quadratischen Matrix die Diagonalmatrix E mit lauter Einsen auf der Diagonalen, sie entspricht der Identitätsabbildung jedes Vektors auf sich selbst. Negative Potenzen einer quadratischen Matrix A lassen sich nur berechnen, wenn die durch A gegebene lineare Abbildung invertierbar ist, also keine zwei unterschiedlichen Vektoren u₁ und u₂ auf denselben Vektor Au₁ = Au₂ abbildet. Anders ausgedrückt, muss für eine invertierbare Matrix A aus stets folgen, das lineare Gleichungssystem Au = 0 darf also nur die Lösung 0 haben. Zu einer invertierbaren Matrix A existiert eine inverse Matrix A^-1 mit A^-1 A = AA^-1 = E.

Determinanten

Eine Determinante ist eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet. Diese Zahl gibt Auskunft über einige Eigenschaften der Matrix. Beispielsweise lässt sich an ihr erkennen, ob eine Matrix invertierbar ist. Eine weitere wichtige Anwendung ist die Berechnung des charakteristischen Polynoms und damit der Eigenwerte der Matrix.

Es gibt geschlossene Formeln zur Berechnung der Determinanten, wie den Laplace'schen Entwicklungssatz oder die Leibniz-Formel. Diese Formeln sind jedoch eher von theoretischem Wert, da ihr Aufwand bei größeren Matrizen stark ansteigt. In der Praxis kann man Determinanten am leichtesten berechnen, indem man die Matrix mit Hilfe des Gauß-Algorithmus in obere oder untere Dreiecksform bringt, die Determinante ist dann einfach das Produkt der Hauptdiagonalelemente.

Berechnung von Potenzen mittels Diagonalisierung

Motivation: Die Fibonacci-Folge f_n ist definiert durch die rekursive Formel f₀ = 0, f₁ = 1 und f_{n + 1} = f_n + f_n-1 , was gleichbedeutend ist mit

und

also mit der nicht rekursiven Formel

in der die n-te Potenz einer Matrix A vorkommt.

Das Verhalten einer solchen Matrix bei Potenzierung ist nicht leicht zu erkennen; hingegen wird die n-te Potenz einer Diagonalmatrix einfach durch Potenzierung jedes einzelnen Diagonaleintrags berechnet. Wenn es nun eine invertierbare Matrix T gibt, so dass T^-1 AT Diagonalform hat, lässt sich die Potenzierung von A auf die Potenzierung einer Diagonalmatrix zurückführen gemäß der Gleichung (T^-1 AT)ⁿ = T^-1 Aⁿ T (die linke Seite dieser Gleichung ist dann die n-te Potenz einer Diagonalmatrix). Allgemein lässt sich durch Diagonalisierung einer Matrix ihr Verhalten (bei Potenzierung, aber auch bei anderen Operationen) leichter erkennen.

Fasst man A = _v f_v als Matrix einer linearen Abbildung auf, so ist die Transformationsmatrix T die Basiswechselmatrix zu einer anderen Basis v', also T = _v e_v' (wobei die Identitätsabbildung e jeden Vektor auf sich selbst abbildet). Dann ist nämlich T^-1 AT = _v' f_v' .

Im oben genannten Beispiel lässt sich eine Transformationsmatrix T finden, so dass

eine Diagonalmatrix ist, in der der goldene Schnitt vorkommt. (Hieraus erhält man schließlich die Formel .)

Definition des Eigenwerts

Wie kommt man von der Matrix A auf die Zahl ? An der Diagonalmatrix erkennt man sofort, dass

es also einen Vektor u ungleich Null gibt, der durch Multiplikation mit der Diagonalmatrix komponentenweise vervielfacht (genauer: ver--facht) wird: . heißt wegen dieser Eigenschaft ein Eigenwert der Matrix T^-1 AT (mit Eigenvektor u). Im Fall von Diagonalmatrizen sind die Eigenwerte gleich den Diagonaleinträgen.

ist aber auch zugleich Eigenwert der ursprünglichen Matrix A (mit Eigenvektor Tu, denn ), die Eigenwerte bleiben bei Transformation der Matrix also unverändert. Die Diagonalform der Matrix A ergibt sich demnach aus deren Eigenwerten, und um die Eigenwerte von A zu finden, muss man untersuchen, für welche Zahlen x das lineare Gleichungssystem Au = xu eine von Null verschiedene Lösung u hat (oder, anders ausgedrückt, die Matrix xE - A nicht invertierbar ist).

Die gesuchten Zahlen x sind genau diejenigen, die die Determinante der Matrix xE - A zu Null machen. Diese Determinante ist ein polynomialer Ausdruck mit x (das sogenannte charakteristische Polynom von A); im Falle der oben genannten 2-mal-2-Matrix A ergibt dies die quadratische Gleichung x² - x - 1 = 0 mit den beiden Lösungen und . Die zugehörigen Eigenvektoren sind Lösungen der linearen Gleichungssysteme bzw. , aus ihnen erhält man dann die Transformationsmatrix T.

Diagonalisierbarkeit

Ob eine Matrix diagonalisierbar ist, hängt vom verwendeten Zahlbereich ab. A ist z. B. über den rationalen Zahlen nicht diagonalisierbar, weil die Eigenwerte und irrationale Zahlen sind. Die Diagonalisierbarkeit kann aber auch unabhängig vom Zahlbereich scheitern, wenn nicht "genügend" Eigenwerte vorhanden sind; so hat etwa die Jordanform-Matrix

nur den Eigenwert 1 (als Lösung der quadratischen Gleichung (x-1)² = 0) und ist nicht diagonalisierbar. Bei genügend großem Zahlbereich (z. B. über den komplexen Zahlen) lässt sich aber jede Matrix diagonalisieren oder in Jordansche Normalform transformieren.

Da die Transformation einer Matrix dem Basiswechsel einer linearen Abbildung entspricht, besagt diese letzte Aussage, dass man zu einer linearen Abbildung bei genügend großem Zahlbereich stets eine Basis wählen kann, die "auf einfache Weise" abgebildet wird: Im Fall der Diagonalisierbarkeit wird jeder Basisvektor auf ein Vielfaches von sich abgebildet (ist also ein Eigenvektor); im Fall der Jordanform auf ein Vielfaches von sich plus evtl. den vorigen Basisvektor. Diese Theorie der linearen Abbildung lässt sich auf Körper verallgemeinern, die nicht "genügend groß" sind; in ihnen müssen neben der Jordanform andere Normalformen betrachtet werden (z. B. die Frobenius-Normalform).

Literatur

Howard Anton: Lineare Algebra, Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg, ISBN 3-86025-137-6.
Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-46508-5.
Egbert Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Bd.1, Vieweg-Verlag, 1983, ISBN 3-528-08561-4.
Egbert Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Bd.2, Vieweg-Verlag, 1998, ISBN 3-528-08562-2.
Siegfried Bosch: Lineare Algebra, Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-29884-3.
Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
Günter Gramlich: Lineare Algebra, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, ISBN 3-446-22122-0.
Günter Gramlich: Anwendungen der Linearen Algebra, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, ISBN 3-446-22655-9.
Klaus Jänich: Lineare Algebra, Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-66888-8.
Hans-Joachim Kowalsky: Lineare Algebra, de Gruyter Lehrbuch, ISBN 3-11-008164-4.
Burkhard Lenze: Basiswissen Lineare Algebra, W3L-Verlag, Bochum, 2006, ISBN 3-937-13781-5.
Gernot Stroth: Lineare Algebra, Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-107-9.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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